Étudier l'équation

y :=xy-^f{x)^i-i-y'-i.

Y a-t-il une solution singulière?

Cas particulier : f[x) ^= ax -{- b.

Note. — Rappelons que l'équation

ne peut avoir une solution singulière ({ue si y et y' satisfont au système

Ox dy -^

Soit ^{x,y) = 0 une telle courbe, c'est une singulière

si -p n'est pas identiquement nul pour la valeur y de x,

tirée de P = o.

Quand il n'y a pas de singulière, le résultant Q = o

de /= o, -p; = o, donne une courbe sur laquelle y' ne

satisfait pas à l'équation différentielle et cette courbe est, en général, un lieu de points de rebroussement des solutions F(^, y, C) = <> de l'équation (G. Darboux, Bull. Sciences math., iS^S; E. Picard, Traité, t. III).

ENONCES DE PROBLEMES. IQS

3o. Y a-l-il une solution singulière pour l'équation

ax'^y'^-^- IX y {y — ia)y' — 2jk^(jk — 2 a) =0.

36. Etant donné dans un plan P un axe Ox^ on demande de déterminer dans ce plan une courbe C, passant par le point O, telle que l'aire engendrée par la rotation d'un arc OM de cette courbe autour de Ox soit dans un rapport constant K avec Taire engendrée par la rotation de la tangente MT autour du même axe.

Examiner en particulier le cas où K == -•

Su7^ les équations linéaires.

37. i" Rappel de deux formules. — Rappelons deux formules d'un emploi constant. La solution de

est

y = e *^ [c — I Qe'^ dx

Si l'on connaît une solution y^ (x) de

y'+py-+-Q^==o,

la solution est

— fp dxy = yA a -^ b I ~e '^ dx ) .

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2" Application. — Intégrer complètement les équations différentielles des polynômes X/^ de Legendre et des fonctions J„ de Bessel.