On considère l'équation aux différentielles totales

( [) c?^ = ( A^2 H- 2 Bz + G ) â?x + ( A. 22 4- 2B1 2 -H Cl ) c/7,

où A, B, c, A,, B,, C, sont des fonctions des deux variables indépendantes x et y.

On demande de former les conditions auxquelles doivent

satisfaire les fonctions A, B, G, A, , Bi , C, , pour que l'équation soit complètement intégrable.

Ces conditions étant supposées satisfaites, expliquer comment on achèvera l'intégration de cette équation, si l'on connaît une ou plusieurs intégrales particulières.

Exemple. — Etant donnée une famille de courbes F, représentées dans un svstème d'axes rectangulaires, par les deux équations

(T) x'^—iz'^=a, 3y^—DX^z^-^mx^z-\-i^z^=b,

si a et ^ sont des pnramètres arbitraires et m un coefficient constant, on demande de déterminer ce coefficient m de façon que ces courbes F soient les trajectoires orlliogonales d'une famille de surfaces, et de trouver celte famille de surfaces.

39. Application de la fonction de Green. — i" Trouver, sous forme d'intégrale double (la fonction de Green figurant sous le signe), la solution, nulle sur le contour, de l'équation

2'* Démontrer que, un poiut (a ^ b) s'approchanl du conlour G, la solution uUi^ b) tend vers la valeur donnée zéro. (G'est le seul point délicat.)

40. Soit une courbe gauche G, dont les coordonnées .r, jK, z sont des fonctions données de l'arc s.

En chaque point l'on considère une sphère de rayon donné, r [s)^ ayant son centre sur G.

Trouver l'équation difierentielle des lignes de courbure de V enveloppe de ces sphères.

Puis on prendra les cas suivants :

i*^ La courbe G esl plane;

2" r est constant:

3'' r est proportionnel à z.

(Voir Je paragraphe « Hjperg-éométrie » de ce Livre; s'inspirer de ce qui est fait Jà. En particulier l'enveloppe sera définie par s et l'angle 9.)

M. On considère les courbes gauches telles qu'on ait X dy — y dx = a ds,

a est une constante, s l'arc de courbe.

Montrer que les normales principales de ces courbes rencontrent l'axe O^.

Trouver les surfaces dont ces courbes sont les lignes de plus grande pente par rapport au plan xOyl