G TABLE DES MATIÈRES
Pages.
Formules de Wallis et Stirling 23
Intégrales réelles et complexes 26
Un théorème de WeiersLrass. 34
Sommes de Gauss 87
Nombres de BernouUi \2
Développements de cota? et sino? 4*^
Points singuliers possibles des solutions des équations linéaires et
homogènes, par le calcul du Wronskien 4'l
Équations différentielles et aux dérivées partielles 4^
Théorie du facteur intégrant 62
Exercices 63
Équation adjointe et transformation de Laplace 72
Exercices 74
Théorie du dernier multiplicateur 75
Exercices 76
Exercices sur la théorie des fonctions et les séries trigonométriques. 78
Polynômes X„ de Legendre, formule de O. Rodrigues 83
Fonctions J„ de Bessel; elles ont une infinité de racines { théorème
de Sturm ) 86
Intégrales eulériennes : fonctions bêta et gamma; théorèmes
classiques; extension analytique 90
Fonction zêta de Riemann ; développement d'après Stieltjes 96
Extension analytique 100
Introduction.
Sur les déterminants 102
Théorème de M. Hadamard sur le maximum du module d'un déterminant (dém. de M. Wirtinger) io5
TABLE DES MATIERItS. 207
Pages,
Potentiel logarithmique de simple couche et de double couche. Le premier est continu quand on traverse la couche attirante ; sa dérivée normale est discontinue.
C'est l'inverse pour le second; mais le xnol continu a ici un sens spécial; la dérivée normale du potentiel double peut ne pas exister sur la frontière même, et il y a cependant égalité des dérivées normales en deux points, intérieur et extérieur, infiniment voisins et équidistants de la frontière 107
Equation de Laplace.
Problème de Cauchy et problèmes de Dirichlet et Neumann. Fonctions de Green ^ 1 15
Intégrale de Poisson 118
Remarque de Stieltjes sur l'unicité de la solution 119
Fonctions harmoniques et fonctions synectiques; théorèmes de
Lieu ville, Harnack, Weierstrass 119
Équations à second membre : remarque sur l'unicité de la solution. 110
L'équation intégrale de M. Fredholm.
On obtient la solution en regardant une intégrale définie comme limite de somme 121
Cette solution, unique en général, est méromorphe en X. Soit >v„ un pôle, c'est-à-dire une racine de D ( >v ). Les fonctions de >., D , étant nulles, pour \ = \ etpour/> = i, 2, ..., {n — i), >v„ est racine de D(>v), d'ordre ^ n. L'équation sans second membre aura, pour >v = \^ et pour ces valeurs seulement, n solutions linéairement indépendantes. L'équation avec second membre aura alors une infinité de solutions, si n conditions sont remplies au point X = Xj (le nombre des variables est quelconque ) 126
Application à l'équation de Laplace : problème de Dirichlet, intérieur, possible; problème de Neumann, extérieur, possible; problème de Neumann, intérieur, possible seulement si le Jlux total donné est nul i33
Application aux équations différentielles ordinaires ( pour ces applications, les démonstrations, longues et délicates, sont seulement indiquées) i35
Équations des types hyperbolique et parabolique.
Sur les théorèmes d'existence de types divers (remarque de S. de Kovalesky ) , 187
