MASSE EN ROTATION

Limite de la, vitesse de rotation, — Supposons maintenant que co varie d'une façon continue. La figure se déforme d'une manière continue, et on a

d\N+ — di+ cojrfco = 4- Tef U,.

Lia figure étant supposée en équilibre, W -| J est maximum

ou minimum, en tous cas

rfVV + -^rfJ = o.

Il reste

Donc

tiiidiù —

Ug croit qaand <<> augmente.

V étant le potentiel newtonien, on a sur la surface

to'

Si donc la surface rencontre Taxe de rotation, U^ est le potentiel newtonien au pôle. Si 10 croît, ce potentiel croît également. Uq ne peut d'ailleurs dépasser 27wR^ (p^^g^ ^6), R étant le rayon de la sphère ayant même volume que la masse fluide.

En divisant membre à membre, on a

iùidtù d\\

Si on fait croître w indéfiniment, to^ finira par dépasser -. W sera inférieur à (o^J ;

28 MASSE HOMOGENE FLUIDE

et par suite

2 doy d\]^

Si oj croît indéfiniment, U^ devra croître indéfiniment ; mais \.\ ne peut dépasser 27rR^ ; il est donc nécessaire, ou bien que to cesse de croître, ou bien que la surface d'équilibre ne rencontre plus Taxe ; on a alors une figure annulaire.

Nous verrons que parmi les figures d'équilibre, il y a des ellipsoïdes de révolution ou des ellipsoïdes a trois axes inégaux. Pour les premiers, to est inférieur à 4^ X 0,112. Pour les seconds, (o < 4?^ X 0,098.

Il est aussi possible qu'il existe une succession de figures d'équilibre, pour lesquelles w passerait par une infinité de maximums ou de minimums. Ici, le raisonnement ne s'appliquerait plus et lù pourrait augmenter indéfiniment.

JPermanence de F axe de rotation. — Jusqu'ici nous ne nous sommes préoccupés que d'un mouvement de rotation uniforme.

On pourrait se demander s'il peut y avoir des figures d'équilibre relatif pour une masse fluide animée d'un mouvement de rotation non uniforme.

Nous allons prouver que c'est impossible.

Nous pouvons d'abord supposer le centre de gravité du corps immobile; puisqu'il n'y a aucune force extérieure, son mouvement est un mouvement rectiligne et uniforme^

L'équilibre ne sera pas troublé si on ajoute une nouvelle liaison au corps, si on le solidifie. Alors le mouvement du solide autour de son centre de gravité est un mouvement h la Poinsot.

D'après le principe de Dalembert, le travail virtuel de la force totale, pour tout déplacement compatible avec les liaisons, est donc nul. Dans le cas qui nous occupe, il n'y a qu'une liaison, c'est l'incompressibilité du fluide, s'il s'agît d'un liquide. Si l'on a affaire à un gaz en équilibre, l'équilibre subsiste a fortiori en supposant le corps incompressible.

Si Sj:, 5y, Se représentent les déplacements virtuels d'un point