CHAPITRE III
FONCTIONS SFHÉRIQUES
Expression de AV dans un système triple orthogonal. — Soient
trois familles de surfaces, constituant un système triple orthogonal.
Considérons le petit parallélépipède rectangle dont les faces sont les 6 surfaces.
Les arêtes de ce parallélépipède ont pour longueurs
ad^, hdy\^ cd^,
La diagonale est
ds^ = a^d^' + iVr;^ + 6•Vî;^
Supposons une fonction V (Ç, vi, 2^) et cherchons à déterminer la valeur de T'intégrale
AVrfT
4o FONCTIONS SPUÉRiqUES
étendue au volume du parallélépipède; elle est égale à
étendue a sa surface.
Le volume étant înfinîment petit, la première intégrale a pour expression
La seconde est la somme de trois intégrales étendues chacune aux deux faces opposées du volume.
Pour la face \ =^\^^ ou 2i
Pour la face opposée 5 = ?o -h^ly on a
et par suite pour l'ensemble des deux faces, on a
On a donc
ûiYabcd^ d'r\ rfî^
jrij jyV ^ hc ^Y ^ d ca dV . d ab dV 1
et finalement on a
AV
~ abc Zj%^ \"â" di /
Application aux coordonnées polaires, — Dans ce système
on a
X =^v sin 8 cos o,
7^ =/• sin sin cp,
^ == /• cos 9,
POLYNOMES SPllÉRIQUES 4i
et, en posant cos 8 = ja, on a
a: = /• y I — [jl^ cos 'f , y =ry/i jx^ sin cp,
Z = /-[JL.
L'élément linéaire dans ce système de coordonnées a pour expression
ds^ = dx^ + dtf + rf^"^ = dr^ + /-Vô' + /•' sîn^Qtf'f '^
= rf;.2 + ;.2 ^1^| /-(l — a2)t;C0^
Au lieu de Ç, y;, ?^, nous avons /•, [jl, '^ et dans ce système
c = r\/i — [JL% abc = r^.
On calcule alors facilement
Polynômes sphériques. Fonctions sphériques. — On appelle polynôme sphérique un polynôme homogène en x^ y, z satisfaisant à l'équation de Laplace, A P = o,
b il est de degré n en jt, t/, z il contient ^^ -^ coelti-
cients arbitraires. Mais il y a un certain nombre de relations entre ces coefficients puisque l'on a AP„ = o. Cette relation est
de degré n — 2. Il y a donc n ' — • relations entre les coefficients.
4a FOyCTIONS SPHÉRiqUES
Il y a donc
polynômes sphérîques, indépendants du degré /i.
On peut exprimer a;, y^ z en coordonnées polaires : on aura alors
Y„ étant uniquement une fonction de y et de [jl, que nous "appelons fonction sphérique d'ordre n.
On a évidemment la relation
Considérons maintenant l'égalité (2) démontrée page 4
Supposons que la surface S soit une sphère de rayon i , que U et V soient deux polynômes sphériques d'ordre m et /i, le second membre sera nul, et on aura
Doue, ea tenant compte de l'égalité (i), on a
Si m est différent de n, on a
PjR Pn d<7 = o,
poirNOMES sPOÉRiquES 43
rintégrale étant étendue à une sphère de rayon i ; et on peut encore écrire ceci :
Si m = 71, ce résultat nVst plus vrai.
Fonctions spbèriques fondamentales. — On a vu que Ton a
a; = /• y I — tx^ cos cp = r y]
y = r y I — \k^ sin © = /• y i —
Si on remplace x q\ ij par ces valeurs dans P„, on aura
Xj étant une fonction de [jl seulement 5 ce sera un polynôme
en [JL et en ^ i — [JU. Les polynômes où/? est pair, ne contiendront
y I — \k^ qu'à des puissances paires. Les polynômes où p est
impair, ne contiendront y i — [x^ qu'à des puissances impaires. Les premiers seront donc des polynômes en [jl, les seconds
seront des polynômes en \k multipliés par y i — [jl^. Substituons la valeur de P dans Téquation A P„ = o. On obtient
En annulant le coefficient de /"-^ eO>?, on obtient Téquation à laquelle doit satisfaire Xfj. C'est
jLr(.t.^)^1- .(.+.-)(.^--0+/.- X;; = o.
rf[x L^ ^^ tfix J '— [^ .
44 FONCTIONS SPHERiqUES
L'intégrale générale de cette équation est une fonction transcendante, mais il y a une intégrale particulière qui est de l'une des deux formes exigées par la définition de Xj, et qui est déterminée à un facteur constant près.
On voit que XJJ et X^^ satisfont à la même équation. On a donc
A étant une constante quelconque. On a ainsi la forme des 2/? -{- I fonctions sphériques cherchées.
On peut écrire autrement 2/1+1 fonctions indépendantes en
posant
XJ , X^cosp, XJcos2cp ,..., X"COSW'^,
Xi sin cp, X^ sin 2'^ , . . . , X" sin fVf,
Deux fonctions sphériques différent donc soit par /i, soit par p^ soit que n et p soient égaux, mais que l'une contienne le sinus, l'autre le cosinus de p'f.
On a déjà démontré que
est nul si mr=f=.n\ nous allons achever la démonstration et démontrer que l'intégrale
est nulle si Y et Y' sont deux fonctions difiérentes.
Il suffit de le démontrer dans le cas de deux fonctions de même ordre.
On a alors
XJ XJ d]k I 00s p'^ cos y!p d'^
