DÉTERMINATION DES POLYNOMES XJ

OU bien

X^ Xj d]k I sîn jy^ sin q'^ (f'f ,

X«^ ^'[J^ / smjrfcosp'^do,

Dans les trois cas, la seconde intégrale est nulle. Enfin il est évident que

est différent de zéro.

Détermination des polynômes X{|. — Proposons-nous maintenant de déterminer Xf^y et pour cela, commençons par le cas où /; = o.

L'équation est alors

C'est l'équation qui définit les polynômes de Legendre, et on a

" dix'' ^ ^ ^

Xj (Cos 6) est donc une fonction sphérique où 9 représente l'angle d'une direction avec l'axe O^.

Par raison de symétrie, Xj, (Cos e), où z représente l'angle de la direction considérée avec une autre direction quelconque, mais fixe, sera aussi une fonction sphérique ; mais on a

cos e = cos 9 cos 0'+ sin sin Q' cos (-^ — '^'j et cela, quels que soient 9 et 9'.

46 FONCTIONS SPHÉlilQUES

Donc

X^ I cos 6 cos 6' + sin 9 sin 8' cos {f — '/) 1

sera encore une fonction sphérique.

Si on pose

sin ft' e-'î' = 2$,

sin 8'e*?'= 271,

d'où on conclut, en ajoutant membre à membre après avoir multiplié ces deux équations respectivement par e*? et e~ *?,

sin 6' cos (cp — o') = $e'? +7^6"'?

et en multipliant membre à membre,

sin^9'=4ivi;

d'où

cos^ô' = I — 4i'i ;

la fonction

est donc encore une fonction sphérique quels que soient ^ et r». En particulier, si on fait

X„[fx + v/T^^e>]

est une fonction sphérique.

Si je développe suivant la formule de Taylor, j'ai un polynôme :

Xn [[X+v/l— [X^e»>]= Xn([x)+6^>V/^

1,2.., JJ dltJ' '" I.2.../Î d[L^