PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS SPHÉRIQUES

Chacun des termes de la somme est une fonction sphérique. On a donc défini les fonctions X^ à un facteur près.

Propriétés des fonctions spbériques. — Soit U une fonction de r, et P„ un polynôme sphérique :

Proposons-nous de calculer A (U I\). On a

,^ dU dP„

mais

A(UP„)=P„AU + .^-^^-^+UAP,.,

' dar dr ' dx dr

d^u 2 cm

MUP,.) = P«[-^ + -^J

2 rfU / dP,. dP„ dP,. \

■+" ~ "rfT r "dJ~ +^ ^ "^^ "ôT j

et, parce que P" est une fonction homogène,

p r rfnj , 2(/i+i) rfu-1

Proposons-nous maintenant de calculer

^(uy„)=a[^xp,.]

puisque P„ = /•"¥„.

p'oscTioss fit^iii^niQVEs

Oôtiche êptiêVOÏdAÎe. — Noun nlloni* npplîqucr ce qui précède à l'élude tl'utie uirtftfte fluide nphéroïdrtle, c'est-a-dire d\me masse lluldê dont lit flguie d'ét(uilil)ro orI peu diflerente d'une sphère, uil, d'une utnttiîMe pluR pri^otse, dout lu surface est comprise entre deu^ sinTrtocR RpluMîquea de rayons voisins. Une couche sphéroïdide seiu Uhe couche comprise cuire deux surfaces sphéroïdales.

Action tt^nM tonthÉ ëphétoMAl^. — Soît (fig. 7) r/^rêlément de ftuH'rtce d'une couche de rayon 1^ € IVpaisseur de la couche

Rphi^ix^Vdale, rft rclcment de volume de la couche sphéroîdale ; on a

On peut snpposct que la masse <^ontenwe dans d'z est sur rélément /i(Ty et e«t représentée par ixdfs^

Soit un point M dont les coordon^

nées C4ïrtésiennes sont .?', î/, r^ les coordonnées sphériques

7\ tJL = COsO, Ci,

>ioil un point M' dont les éléments analogues sont ,r', t/\ r'; 7 ' == I , Vi.' =<y>s h'. «'.

La di^tam^e MM e^t égale à i + 7 - — p. 7- cos ^OM, OM' .

<]os "' = cos fOM, OM " = cos h cos h' + sin h sin 6 cos ;t — :t'i .

Développement en Tsérie de-^^.-. — Le pot<Mifiol en IVI, du à la couche sphéroïdale, esl

t' esl une fonction de u el de cp : ;• es! phîs polil qn(* i. Or

MM''' = I — srcos *'-i- ;■- =1^ / 1 — /v'. ' I - ;v ',,

rrrr' I VC^^