FONCTIONS SPHÉRIQUES

Tout revient donc à démontrer que 4>' est développable en série de Fourier, c'est-à-dire que <ï>' est une fonction de o admettant une dérivée, sauf en quelques points singuliers, et qu'en ces

points singuliers l'intégrale / 1 <Ï>M rf:) a un sens.

Nous allons maintenant démontrer que e est développable en une somme de fonctions sphériques. Le potentiel en un point M de coordonnées (r, 6, '^) est

MM

s' étant la densité de la couche sphérique, au point (6', »'), On a

dV / t'd^' dMW

dV__ / t'd^' dr ~ I MM''

dr

l e' (ces Y — '■) dv' ~ MM^^

Comme cela a été démontré, nous avons

:,itt=^(^.<o)=

Supposons que OM soit une direction fixe que nous allons prendre comme axe O^ :

MM' =1 — 2/' cos Y + /'^ ^ I — ajjiV + r^.

L'élément de surface est di' ==rf[jLW'f', et on a pour valeur en M de la fonction 4>

rfj/.'