POTENTIEL EN VN POINT DE LA COUCHE SPHÉROIDALE
car e' seul dépend de ^', Si on pose
F ([.')= / edi, on a
Supposons que la sphère soit partagée en un nombre fini de polygones sphériques dont les côtés soient des arcs de courbes analytiques, et que dans chacun de ces polygones e' soit une fonction continue de ^' et de ip '.
Dans ces conditions, F([jl') sera une fonction analytique de [x',
excepté pour les valeurs de ^I correspondantes aux sommets des
polygones, ou aux parallèles de la sphère tangents aux côtés des
F (aO polygones. La fonction ' ^^ sera alors intégrable entre — i et
Si on pose r=:e*^, on aura
MM'= 27- — f/'H — ^j — ^' =2/*| cosij/ — ^'\
et si on pose ensuite
cosij; — \f''= Z"^»
on aura
^"' F (fxO d^!
Nous démontrerons plus loin que ^ est une fonction de ^ admettant une dérivée, et est par suite développablê en une série de Fourier.
Enfin, si nous développons suivant les puissances de /*, nous aurons une série convergente pour|7*|<i. Elle sera sûrement convergente même si 1 7* | = i ,"dans le cas où s né comprend qu'un nombre fini de termes.
56 FoycTioys spiieriqves
Voyons quelques exemples qui nous serviront par la suite.
Si on fait e' = , on aura
si on fait e' == —^ , on aura
On pourra prendre pour fonctions sphériqucs correspondantes Y.=-î-ouY„ = — .
De môme, si e' = —^, on a en appliquant la formule de la page 52
Dans le cas qui nous occupe
Yj, = Y^ = . . . = o
et
Théorème de Laplace. — On a toujours le droit d'écrire
a et i étant des constantes quelconques; 4> sera alors de la forme
2a + 2ie'^ + <ï>^ et si on pose
, ,v I — r^ — isintL . * , 2/rr v^A
on aura
