THÉORÈME DE LAPLACE
Ceci posé, pour établîr que 4> est développable en série de Fourier, il faut démontrer : i° que --tt- existe et est fini sauf en un nombre limité de points singuliers de la fonction 4> ; 2** que
1^1 rf^ est fini en ces points singuliers. Il y a une difficulté,
car Z s'annule si [jl' = cos i{/. Il faut donc que F ([jl') s'annule pour jjL' = ebs^j^ et alors on doit étudier vers quelle limite tend la fonction lorsque [jl tend vers cos ^.
I** — 7î— existe. En effet on a
d^ ,.,. . rfvi / ^^d\J' ,3 . , / V,du!
Or, je puis disposer de a et i, de façon que Ton ait
Fj (cos ij;) = o,
F( (cos if) = o.
Si donc cos if — \k' est un infiniment petit du premier ordre, F(jjl'), qui est analytique au voisinage de cos if, sera un infiniment petit du second ordre, et, sous le signe d'intégration, les
3 5 dénominateurs sont respectivement d*ordre — et — ; le numé-
rateur est d'ordre 2. L'intégrale est donc finie, sauf si cos if est une valeur singulière de F([a'). Il faut qu'en ces points singuliers, où i|; == if^, l'intégrale
soit finie.
Supposons
a = F (cos if^ b = 0,
58 FOyCTIOyS SPHÉRiqVES
On a alors
14>M.{-<2 / lF(cos;}/)|rf.}+ / T,d-l I liil^l^i£2îilirf^,
Le second membre doît rester fini. La première intégrale est finie. Il faut démontrer qu'il en est de même de la seconde.
C'est une intégrale double qui, aux points singuliers, doit être un infiniment petit d'ordre inférieur à 2, et aux lignes singulières d'ordre inférieur à i .
Or, nous avons ici une ligne singulière, la ligne [x' = cos ^,
mais pour [/.' = cos ^^ le dénominateur est d'ordre — > le numéra-
teur est d'ordre i, sauf aux points singuliers de F(ul'). Donc
l'élément de l'intégrale devient infini de l'ordre — , l'intégrale
a un sens.
Aux points singuliers F([jl') =^ F(cos ^), la fonction est d'ordre
— , l'intégrale a encore un sens.
La fonction <t> remplit donc les conditions nécessaires pour être développable en série de Fourier.
La formule de Laplace est valable pour /•=: i, et Ton a
Le théorème de Laplace est ainsi démontré.
