CHAPITRE IV

MASSE FLUIDE HETEROGENE. PROBLEME DE GLAIRAUT

Préliminaires. — Supposons le mouvement de rotation de la masse suffisamment lent : la surface différera peu de celle d'une sphère, le carré de la vitesse de rotation o)^ sera considéré comme un Infiniment petit du premier ordre.

On a déjà vu que si le mouvement de rotation est nul, les surfaces équipotentlelles sont également des surfaces d'égale densité. Le potentiel V^ en un point est uniquement fonction de /• et Tequatlon de Laplace se réduit à

La masse contenue entre deux sphères Infiniment voisines de rayon r et r -j- dr est

et la masse totale contenue à l'intérieur de la sphère de rayon /• est

Tzr^^dr,

Si on appelle D la densité moyenne de cette sphère

6o MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PROBLÈME DE CLAIRAUT

D est une fonction de r dont la dérivée D' est négative dans l'hypothèse d'un équilibre stable.

En difTérentiant cette dernière équation, on a

o En supprimant le facteur ^Tzr^dr^ on a

En prenant encore une fois la dérivée, on obtient la relation

qui nous sera utile par la suite.

Faisons encore la remarque suivante. On a évidemment :

La première inégalité est vérifiée puisque D' est négatif; la seconde Test, car p est positif. On a donc

On a • - =0 si la masse est homogène.

On a -r=-- = — 3 si toute la masse est concentrée au centre.

Le potentiel de la sphère de rayon /• en un point de sa surface est

o La force qui s'exerce sur une molécule de la surface est

Puisque p et V^ sont uniquement fonction de /•, on peut les supposer fonctions l'un de l'autre, et, en vertu de la relation (i),

DEVELOPPEMENT DU POTEr\TlEL EN SERIE 6l

AVj, est fonction de V^, et on peut écrire A V^^ =/*(¥,,) ; en différentiant

df{N,) rf(AV,) dr - 4irp^