DeY = (lH-41)Y

On a d'ailleurs aussi

]'iiisque Y est une fonction sphérique du second ordre. Ou a aussi

-?- AIIY = [rD" + 4D') e/Y.

L'équation devient donc

Acz-DY = ^/■D"+ 4D') e/-Y.

LIMITES DE yj 69

On a démontré que si P est un polynôme sphérlque d'ordre /î,

on a

(UP)=p[u'' + ^(^ + i)-^].

Si nous posons pour /i = 2

? = /•% On aura Téquation

en développant les calculs on trouve,

e"Y) + 2e'D' + -^ eD' + — p'D = o.

C'est une équation linéaire du second ordre que Ton peut ramener a une équation du premier par le changement de variables.

re' , re" re'^ . d

L^équation devient

(12) D(/V + *^' + 5-/i)+2rD'(i+yi.) = o.

C'est l'équation de Claivaut.

Limites de r^, — Nous avons vu (p. 60) que Ton avait

Dans l'équation (12), substituons ces valeurs extrêmes de rl>\

70 iVASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PROBLEME DE CLAIRAUT

et considérons les deux paraboles (fig. lo), où l'on a porté en abscisses r, et en ordonnées i-r'

Le point dont les coordonnées sont /y/ et /, ne peut se trouver

qu'entre les deux paraboles (daps lu région hachurée sur la figure.)

Je vais maintenant démontrer que r, est compris entre o et 3.

r, ne peut être négatif. En ellet, s'il est négalif pour une

)■„, on pourra trouver deux nombres positifsa et ^ tels que

— ?<-1< — ^, i et ^ pourront même satisfaire ii l'inégalité 0<ï <a <5 <p.

Je dis que c, ne peut dépasser — k.

LIMITES DE r, 7 1

En effet, si r, atteignait le valeur — a pour une valeur r inférieure à i\^ --—-serait négatif, /'—t^ serait négatif.

Le point dont les coordonnées sont /r/' et vj = a ne se trouverait pas alors dans la région hachurée.

De même r, ne peut dépasser — ^3. En effet, si pour une valeur

de /• inférieure à /• on avait /• < /• , -7^ serait positif, — r-^ serait

^ dr cir

positif aussi et le point représentatif serait dans une région

du plan où le point (rr/, t^) ne peut se trouver.

Donc si pour une valeur de j\^ t, est négatif, il est, pour toute

valeur de /'inférieur à r^, compris entre deux nombres — a et — [4,

on a donc

re'

lîn intégrant de i\ à /• </o, on a

Or e croîtrait plus que lorsque /• tend vers zéro, ce qui

est impossible pour /• suffisamment petit, car e serait très grand. Donc v) ne peut être négatif.

Je dis maintenant que 7; est inférieur à 3. Le raisonnement est le même.

En effet, supposons que pour r =: r^ on ait 7, = t^^ > 3, je dis que pour /• inférieur à i\^ on aurait encore •/; > 3.

En effet, Tinégalité ne cesserait que si */; devenait inférieur à 3, ou si y; devenait négatif en passant par Tinfini. Cette dernière hypothèse est à écarter d'après ce que Ton a vu plus haut. 11 reste donc à montrer que r, ne peut devenir égal a 3. En effet, pour Tj = 3, r/ serait positif, 1^ serait positif, ce qui est absurde,

le point (/t/, r) ne serait pas compris entre les deux courbes. On a donc toujours

On a d'ailleurs

/•7/-|-7i^ — 'f\ — 6<o pourr, >;i.

A fortiori on a

et en multipliant par dr qui est négatif si r décroît de /^ à zéro, on a •

dr , dr^

r "T TNr> ^»

c'est-h-dire

d"L \rd T-<o,

/• 71—3 r, vio — 3

Le second membre est une quantité finie ; le premier est une somme de deux termes, dont le premier seulement devient infini lorsque r tend vers o, l'inégalité est donc impossible.

On a donc bien

Les limites peuvent-elles être atteintes?

Si on a ■ - = o, l'équation se réduit à

et admet la solution

LIMITES DE r, 73

Si— p-- = — 3, réquation se réduit à

qui admet la solution r, = 3.

Le premier cas correspond h un point intérieur de la masse supposée homogène; le second correspond aux points extérieurs à la masse, et en particulier au cas où toute la masse est concentrée au centre.

Je dis que dans ces cas particuliers, les seules intégrales admissibles sont les solutions vj = o et Tj = 3.

En effet :

Supposons - = o. L'équation se réduit à

dr dr^

dont la solution est

Pour r = o, on aurait

donc vi = — 5 ; or pour r quelconque, r^ est toujours positif : donc la constante d'intégration ne peut être que — oo , et l'intégrale se réduit à 7\ = o. Il en est donc de même pour y, = 3, dans le cas de la masse concentrée au centre. A l'extérieur de la masse, on a l'équation

/v/ + 7f — 7i — 6 = o, dont l'intégrale générale est

La constante d'intégration ne peut être que o et on a y, = 3.

Ce sont les seuls cas oii Tj puisse atteindre ses limites. En effet, supposons d'abord que pour une valeur i\^ on ait r, = o, pour /• différent de zéro, r, est supérieur à zéro, donc 7/ [r^ = o, et en portant ces valeurs dans l'équation de Clairaut, il vient

D' = o, mais comme

on a D= p. La densité en ce point est donc égale à la densité moyenne, et comme par hypothèse la densité ne peut diminuer vers le centre, on a un noyau homogène.

Supposons de même que pour /• = r^ on ait Tj = 3, de même que précédemment il faudra que y,' = o ; donc

p = o en ce point, et pour r > r^ on a encore p = o ; p ne peut augmenter puisqu'il y a équilibre, et par suite r, = 3 pour /• > 7^.

11 reste à voir ce qui se passe pour r < r^. Je dis que Ton a encore Tt == 3. S'il en était autrement, r^ serait plus petit que 3, r^ (t, — 3) serait une quantité qui diminuerait avec r, sa dérivée serait positive. On aurait donc

Or, l'équation de Clairaut peut s'écrire

rV + 5 (t. - 3) + (r, - 3)^ + [ ^ + e] f I + vi] =: o.

Les deux deriiiers termes étant essentiellement positifs, il en résulte que l'on devra avoir

ce qui est contraire à ce que l'on a établi plus haut. Pour /• < /-y, on a donc encore t^ = 3, et par suite

r^+el=o.