THÉORÈMES GÉNÉRAUX SUR LE POTENTIEL NEWTON! EN
Cette formule est analogue à celle que Ton trouve dans la théorie de rélectrlcité,
Dans la formule (^), faisons on en conclut la formule
Travail de Fattraction. — Supposons un système de masses oi\ m" ^ ..., etc. attirées par un autre /«',, w"^, ...., etc.
Soit Vj, V',,... le potentiel aux points m\ m'\...j e\.c., dû aux masses attirantes w'^, in'\^ ..., etc.
V, V"..., le potentiel aux points m\^ m'\,,,^ dû aux points
Les masses attirées se déplaçant, on a comme travail en appelant Sx, Sy, S::, le déplacement du point de masse m ;
Si je pose
j aurai
ê=:ôH.
Si les masses attirantes se déplacent aussi, mais seules, le potentiel V, deviendra
THEOREME DE GREEN
et on a
;ii=V/«o'\^.
Si les deux déplacements ont lieu simultanément, on a Supposons que les masses attirées forment un volume T, on a
11= I ?V,rfT,
cette intégrale pouvant d'ailleurs s'étendre à Tespace entier, puisque p est nul en dehors de T. On a
oII= I V.oorfT
étendue de même à l'espace entier.
Si la masse attirante est la même que la masse attirée, on a V = V.,
211= / Xd^dx, ce qui peut s'écrire en tenant compte de (8)
ôH = I pSVcÎT,
ou encore
5„=. / ^^+JV d..
Posons maintenant
VV= I ^di,
8 THÉonkyiES géséravx sur le potentiel sewtosies
rintégrnie étant toujours étendue à tout Tespace; West Ténergie du f^ystcme.
On a
oW = t.
On peut d'ailleurs écrire, puisque AV = — ^r.z.
w = -^Jy^yd.
ft, en tenant compte de (6),
rintégralc étant toujours étendue à Tespace entier.
Conditions d'équilibre. — Ceci étant rappelé, nous allons commencer Tétudc du problème que nous nous sommes proposé.
Considérons une masse fluide, isolée de toute influence extérieure, tournant autour d'un axe fixe que nous prendrons comme axe Ozj d'un mouvement uniforme de vitesse angulaire to; prenons les axes Ox et Oy, invariablement liés à la masse fluido.
Soity^ la pression en un point (a:, y, z); p ne dépend que de r, //, Zy la force s'exerçant sur l'élément de volume di a pour composantes
X^^rf., Y=-^rfT, Z^^d-:.
ô.r iSy UG
Mcrivons les conditions d'équilibre relatif, en remarquant que raccéléraiion de Coriolis est nulle. Si on appelle X, Y, Z les composantes suivant les axes de coordonnées de la force agissant sur la molécule (.r, y, z), on a
et, en posant
THEOREME DE GREES
on a
c> dU
d'où Ton tire
-:r — dx-^—^clu 4--J—dz==p (- — rfx+ -r — dt/ -+~ —— dz] ,
dp=Qd\J.
Cette relation montre que p est uniquement fonction de p ; U csl par suite, aussi uniquement fonction de p et, par suite, de p. On arrive alors au théorème suivant:
Théorème. — Quand une masse fluide, animée d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe^ est en équilibre relatifs les surfaces de niveau sont les surfaces d'égale pression^ et aussi d^ égale densité,
A la surface de la masse, on a /;= o. Donc U est une constante. La surface libre est donc une surface de niveau.
S'il n'y a pas de rotation, on a U == V.
Dans le cas général on a AV = — 4^p. AV est donc simplement fonction de U.
o 1 r , , OU ÙU dU , , ,
Remarquons que la iorce totale -r — , rr — > -:r— est en gênerai
normale aux surfaces de niveau, U = C.
Ces conditions d'équilibre sont nécessaires.
Une condition nécessaire et suffisante d'équilibre est que le travail résultant d'un déplacement virtuel soit nul. Ce travail comprend le travail de l'attraction, plus le travail dû à la force centrifuge.
lO THEOREMES GENERAUX SUR LE POTENTIEL NEWTOMEN
Le premier a pour expression oW, que nous avons déjà étudié, le second a pour expression
pc^T (co^.roa: + w"y2y)
,/.oi^!if!±^
et, si J est le moment d'inertie par rapport à O-S, le travail dû à la force centrifuge est
La condition d'équilibre est donc
2W+i:^oJ=o
pour tout déplacement compatible avec les liaisons. Cette condition n'implique pas nécessairement que
