FORME DES COURBES ISTÉGRALES

dirigée vers le côté AB, quel que soit le point P. Une courbe

intégrale ne peut donc sortir du rectangle par le côté OA, car si

elle ressortait en un point P', elle aurait une forme analogue à

la courbe PMP' (fig. 12), ce qui est impos-

dr sible puisque -^ — ne peut être nul dans le

rectangle.

Donc cette courbe ne peut sortir du rec- ^

tangle que par un point M de la droite AB. — ô" De même, si l'on considère la courbe inté- yw. 12.

grale passant par un point Q du segment GB, la tangente en ce point a comme coefficient angulaire

dr r

rfri

quantité qui est négative puisque Ton a

La branche de courbe qui pénètre dans le rectangle est donc dirigée vers l'arc AB, le même raisonnement que précédemment montre que cette courbe ne peut sortir du rectangle que par un point N de la droite AB. Evidemment, d'ailleurs, le point M est à gauche du point N puisque deux courbes intégrales ne peuvent pas se couper.

Les points M ont donc une limite M' lorsque le point P se rapproche de G, de même les points N ont une limite N' lorsque le point Q se rapproche de G.

Le lieu des points M' sera une courbe complètement comprise entre les droites t^z=^o^t\ =3. Il en est de même pour les lieux des points N'.

Est-il possible que M' et N' coïncident ? Supposons, ce qui sera démontré un. peu plus loin que cela arrive. Alors il y aura une courbe intégrale et une seule qui passe par le point O, Gette courbe sera évidemment la courbe intégrale convenable, puisqu'elle restera constamment comprise entre les droites y^ = o,

78 MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE. PROBLÈME DE CLAIRAl'T

7j =1= 3. lien résulte que la fonction r, (/•) est parfaitement déter-

mince, est donc parfaitement déterminé ; e est alors, en

désignant par E la base des logarithmes népériens

La constante e^ sera connue si on se sert de Tune des équations précédentes, par exemple

Une seule courbe est acceptable. — Démontrons maintenant qu'il y a une seule courbe intégrale acceptable. Nous allons, pour cela, démontrer qu'il y en a une et une seule qui passe par le point /•izzizo, v) = o, et que toutes les autres passent par le point /• = o, 7, = — 5.

Démontrons d'abord qu'il y a au moins une courbe passant par le point vj = o, et une passant par y^ = — 5.

Nous avons déjà vu quel était le signe de rr/ pour diverses valeurs de vj ; r/i' est négatif si T^ est inférieur à — 5, ou supérieur a + 3 et positif si vj est conipris entre o et — 2.

Dans les autres intervalles, les deux signes sont possibles.

Pour 7) = — 5, /"Yj' peut être nul ou négatif, mais non positif.

Pour vj = — 2, /t/ ne peut être que positif ou nul.

/•D' Enfin, nous avons vu que — — — est une fonction tendant vers o

avec r, de façon, qu'étant donné un nombre positif a voisin de zéro, on peut déterminer un nombre r\ tel que l'inégalité

entraine

L'équation de Clairaut peut s'écrire