UNE SEULE COURBE EST ACCEPTABLE

Ji et vêlant des nombres positifs, tendant Tun vers zéro, raiitre vers 5 lorsque a tend vers zéro.

Ceci va nous donner des indications sur le signe de rr/, lorsque r est inférieur à i\. On a le tableau suivant:

Il y a deux intervalles pour lequel le signe de /t/ est douteux, mais ces intervalles sont moindres que ceux précédemment déterminés.

Ceci posé, je vais démontrer que pour /'</',, r, est nécessairement inférieur a ^. Supposons que pour une valeur /'2</'i on ait T, = Tj^> |3. Je dis que si r < i\ on aura encore fi > p. En effet, l'inégalité ne pourrait cesser que si t'== ^, mais*alors dans l'intervalle, r/sera positif, ce qui est contraire à la règle des signes.

Or l'équation peut s'écrire :

,V+(yi-?)(r. + T)+2(-^ + a) (. +r.) = o;

par hypothèse

on a donc

A fortiori on a

et, si on Intègre de /•, à r<.r^,

8o MASSE FLUIDE HÉTÉROGÈNE, PROBLÈME DE CLAIR ALT

Or 7j — P serait positif : on aurait a fortiori

Le second membre est fixe, le premier peut grandir au delà de toute limite, Thypothëse faite est donc absurde. Par suite

Tj a pour limite zéro lorsque /• tend vers zéro. Je dis maintenant que l'équation de Clairaut admet au moins une intégrale tendant vers — 5.

En effet, étant donnée une valeur t,j comprise entre — y et — 5

considérons une courbe intégrale passant par le point (rj,r,J, je dis que si r^ < z*^, r,^ <-y. Autrement y/ serait négatif pour Tj > — • Y, ce qui est contraire a la règle des signes.

On a donc pour /• suffisamment petit

mais y pourra être choisi aussi voisin de 5 que Ton voudra ; il en résulte quer, tend vers — 5.

Soient Yj^ et y^j les deux intégrales dont nous venons de démontrer Texistence. Il leur correspond des intégrales e^ et e^ de Téquation linéaire du second ordre

\e'D + 2e'D'4- Ad' + — e'D = o. L'intégrale générale de cette équation sera

A et B étant deux constantes. L'intégrale générale de Téquation de Clairault sera

re^ kre^ -f- ^re[

Ae, + Be,

Ar,A+ By,,

RELATION ENTRE V APLATISSEMENT, LA PESANTEUR, ETC. 8l

Or, quand r tend vers zéro, r,^ tend vers — 5, Tj^ tend vers zéro. Il en résulte que tjj — r.^ pourra être Inférieur h — 4- On aura donc

re/ /•(?'

• Vf :

c'est -à-dîre que la limite de —^ est zéro quand /• tend vers

zéro. Donc quand r tend vers zéro, la limite de r, est la même que « , celle de r.^ tant que B est diflFérent de zéro. Si B = o la limite est rjjj. Il en résulte qu'il y a une intégrale et une seule de l'équation de Clairaut tendant vers zéro avec r : c'est celle qui correspond a B = o.

Relation entre V aplatissement^ la pesanteur et la force centrifuge à l'équateur, — A l'extérieur de la planète, comme cela a déjà été remarqué, on ne peut parler de surfaces d'égale densité, mais on peut encore parler de surfaces de niveau.

Pour ces surfaces, on a toujours l'équation

AV=AV, + A(IIY)=o;

mais AVq = — 4^p est nul à l'extérieur de la masse fluide. On a donc

A(IIY) =0 A(HY) =y| if +-^ ^, /?(/i+i) jjl ^

Faisons n= 2, on a

IF+— IF — -4-H = o.

L'intégrale générale de cette équation est

PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. G

S2 MASSE FLUIDE UÉTÉEOGÈSE. PROBLÈME DE CLAIHAVT

mais à rinfini II doit être nul, il faut donc que A = o. On a donc

II = Br-3 ;

si M représente la masse fluide, Y le volume enfermé par la surface de niveau considérée, on a

en posant L = — - — .

L'équation

ei

devient

D'où

9r B coVI

On a donc

re' +^e — -f-.

iSco^

StiD •

Comme on a posé

on a finalement

re'=er^