A(Z/'»DY) = ^^ Z/»Y
/•"Y est un polynôme sphérlque ; en appliquant la formule
AfPU) =
(pu)=ru'' + -^^^y^ u^ 1p,
84 MASSE FLUIDE HETEROGENE, PROBLEME DE CLAIRAVT
on obtient finalement
ce qui, développé, s'écrit :
Z"D + aZ' (d' + -Îi±-L D W .^^i=^ ZD' = o .
Si l'on fait le même changement de variables
on a
rt + £2 ^ (2/1 -h 1 )£ H j^ (e + /i — I ) = o .
Cette équation se discute de la même manière que l'équation de Clairaut ; — — — est compris entre les limites o et — 6. On est donc amené à considérer les deux équations :
re'H- £^ +(2/i-|- i) £ = 0,
On construit les courbes en portant £ en abscisses et /V en ordonnées (fig. i3) ; on obtient deux paraboles, et comme précédemment on démontre que £ ne peut être compris qu'entre o et 3.
A l'extérieur de la planète on a A (HY) =o, ce qui peut s'écrire
L'intégrale générale de cette équation est
II devant s'annuler à l'infini, on a a = o, et par suite
DÉTEBMINATIOlf PRÉCISE DE L'APLATISSEMEUT
Vlaiss doit être compris entre o et 3 ; donc b doit ètro nul.
Fîg. i3.
H^o est donc la seule solution possible, à l'extérieur de la masse. Il en est donc de même à l'intérieur.
Ce résultat ne subsiste pas si n = i ou i, mais nous avons déjà examine ces cas.
Détermina f ion précise de l'aplatissement. — Nous avons trouvé
i(UY)=4ii,a'i;,
Nous avons donc Téquation
i(HY) =
- rap'i'Y, ,
et, en se rappelant la formule
A(HY) =y[h"+-^- <^±ilH],
dans laquelle /i == 2, on arrive pour déterminer II à l'équation linéaire avec second membre :
2ir 6H 4 ,
L'intégrale générale de l'équation sans second membre étant
où a et p sont des constantes d'intégration, on déterminera l'intégrale de l'équation avec second membre, en regardant a et ^ comme des fonctions de /•. La méthode de variation des constantes donne
(i) aV2+pV-« = o,
par suite
H'=z=2ar — 3?/-'^
H'' = 2aV— 3pV-'* + 2a+ i2p/-
et, portant ces valeurs dans l'équation primitive, on a (2) 2aV — 3|3V-^ = -|- TrepV,
Les équations (i) et (2) déterminent a' et ^'
P'=4j.pv^,
On a donc
ec^'dr— ^ ^ I e^'r'^dr, ' i5 f '
DÉTEmîINATION PRÉCISE DE VAPLATTSSEMENT 87
Ce^le fonction comprend deux constantes arbitraires a et h.. Comment faut-il les choisir ? Soit r, le rayon de la planète ; pour r supérieur h r^, p = o, f ' = o, par suite les intégrales se réduisent à des constantes
et
Pour /'=oo, Il doit s'annuler. Donc le coefficient de /• es'l nul ; on a donc a = Tj.
De même pour r = o^II doit être fini; donc le coefficient de /• '^ doit être nul, si /• = o, on a donc Z> = o.
II est ainsi complètement déterminé.
Portons cette valeur de H dans l'équation
ei
11 vient
Que devient cette expression à la surface pour /• = r,?D devient D, la densité moyenne de la planète, et on a
cp étant comme on Ta déjà indiqué le rapport de la force centrifuge à l'équateur, à la pesanteur.
Moments d'inertie de l'ellipsoïde, — Calculons Tîntégrale / Y^rfo-, Y étant la fonction
On a
X = /• y I — i*} cos y,
y = /• y/i — [JL^ sin cp,
On a donc a calculer
ce qui donne
I I 3jJL^ I d^kd^f = 27Z j I I 6|X*+9[JL* |rf|X
Calculons les moments d'inertie A, B, G de la masse
On a
Or on a
-4TrA=jAV(y^ + ^VT,
— 4itC = fà\{x^ + y^)di:
