MM' MM' MM

On sait que l'on peut écrire

1—2 --COSYH j

où P„ est un polynôme en cos y de la forme

AgCos^Y + AgCos^'^y 4" '

loo MASSE SOLIDE RECOUVERTE D'UNE MASSE FLUIDE

si on y remplace cos y par sa valeur, on aura

Le polynôme Q sera un polynôme homogène et de degré n par rapport h chacun des systèmes de variables [x^ y^ z^ /*), (x' ^ y' f z' y r'). Il ne contiendra d'ailleurs /• et /•' qu'à des puissances paires, on pourra donc remplacer r^ et /•'^ par leurs valeurs

;j;2 | y2 | ^2 ^t ^/2 J^ ytl ^ Jl .

on aura donc :

,./2 Za

cosy+

MM

Q' représente un polynôme homogène et de degré n par rapport à chacun des systèmes de variables x, y, z; x\ y\ s', chacun des deux ensembles y entrant de la même façon que Tautre, On a d'ailleurs

Donc on a

et, comme r ne dépend pas de x\ ?/', z\ on a :

Q' est donc un polynôme sphérique d'ordre n par rapport aux variables x' ^ y\ z' et par suite par rapport aux variables [x^ y, £), Nous savons qu'il y a 2/?+ i polynômes sphériques d'ordre/;, de forme

CAS OU R EST SUFFISAMMENT GRAND loi

OÙ q prend les valeurs

On peut donc écrire

formule où P est un polynôme fondamental en .r, y, r, Q un polynôme en {x' , y', z') ; Q' est d'ailleurs fonction de

cos

Y = a[x' + y/i — 1^ V^ — I^'' cos ('f — cp'j

Q' ne dépend donc que de la différence (o — '^') : il en résulte que le coefficient de P^^ne peut être que

et on pourra écrire :

MM'

A^^ est un coefficient numérique que Ton peut déterminer facilement.

Application. — Supposons que /• soit suffisamment grand par rapport au rayon de la planète. On pourra développer le potentiel suivant les puissances croissantes de et on aura