LA MASSE EST SANS MOUVEMENT DE ROTATION
Simplîûcation des formules générales. — Etudions le cas particulier d'une masse homogène fluide et sans mouvement de rotation.
En appliquant les théorèmes généraux, on trouve que la surface libre doit être une surface équipotentielle V = V^.
Si on prend la densité de la masse pour unité de densité, le potentiel en un point a pour expression
L'énergie est
Yd-z
V est continu dans tout l'espace ainsi qu'à la surface libre ; il est nul à l'infini ; h l'extérieur il n'a ni maximum ni minimum et est compris entre o et V^j ; à l'intérieur il est supérieur à V^ et a un maximum.
L'intégrale j r — ch étendue h une surface fermée entou-
i4 MASSE HOMOGÈNE FLUIDE
rant le corps a pour valeur i AV^t, étendue au volume limité
par cette surface, et on a I AV^t = — 4"^ / prfT = — 4''^^ï"
Ce théorème est encore vrai pour la surface limite, et il s'applique que le corps soit creux ou plein, et même si Ton a affaire h une distribution superficielle.
Comme enfin nous supposons le corps homogène et de densité 1, on a
Wd'z = — I ^Tz^d'z == — 4'^T
en désignant par T son volume, et par S une surface qui le renferme complètement, en particulier sa propre surface.
Si on porte sur la normale en M h la surface extérieure un segment MM' = 6?/ic(fig. 2), le potentiel en M'a pour expression :
Or, on a
Fi g. '2. y^f <C Vj, ;
on en conclut que
On a vu que cette condition était nécessaire pour l'équilibre : ici elle est toujours remplie.
Soit Vq le potentiel de la masse fluide sur sa surface, et supposons maintenant une couche électrique de masse M, en équilibre à la surface du corps, et produisant dans Tespace un potentiel V'tel que sur la surface et à son intérieur le potentiel soit V'=Vq.
A l'extérieur, on a V =V. En effet, sur la surface V' = Vo et à l'infini V'= o. Or V et V sont deux fonctions satisfaisant h l'équation de Laplace, ayant les mêmes valeurs sur la surface et sur une sphère de rayon très grand. Ces deux fonctions coïncident donc : c'est le principe de Dirichlet.
THÉORIE DE LIAPOVNOFF i5
On a, d'après des formules connues,
On a d'ailleurs
Donc la masse M répandue h la surface a pour valeur T et réciproquement si
Le rapport -^r^ est ce que Ton appelle la capacité électrique
du corps.
Cette notion va nous être utile pour résoudre le problème proposé.
Théorie de Liapounoif, — Parmi les figures d'équilibre, il y a une solution évidente qXii est la sphère : mais peut-il y avoir d'autres figures d'équilibre ? Nous n'en savons rien : mais si Ton se propose de chercher les figures d'équilibre stable, le problème est différent.
Le maximum absolu de W est bien atteint pour la sphère, mais a priori nous ne pouvons affirmer que W n'ait pas d'autres maximums relatifs. Cela a été démontré par Liapounoff; la démonstration est assez longue et on va procéder par étapes.
L'énergie a un maximum, — Le potentiel d'un volume quelconque par rapport à un point quelconque, est inférieur au potentiel d'une sphère de même volume par rapport à son centre.
Du point M, comme centre, je décris la sphère S ayant le môme volume que le corps S (fig. 3).
Le corps S est partagé en deux volumes : le volume K intérieur à S, et le volume A extérieur.
Soit B le volume de S extérieur à S,
MASSE aOMOGEyE FUIÙE
On a par b^'potbêse B = A.
Si R est le rayon de la sphère, on a
Potentiel de A <
Potentiel de B
Fig. 1.
D'où
Potentiel de B > Potentiel de A
Potentiel de S = Potentiel de K -f- Potentiel de A
Potentiel de i! = Potentiel de K 4- Potentiel de B.
Donc
Potentiel de I > Potentiel de S.
Si V est le potentiel au point M, et R le rayon de la sphère I, on a donc
L'énergie qui est égale à
\ih
est donc inférieure b
et il vient
en appelant T le volume de la masse.
On a d'ailleurs
d'après la définition de R.
THÉORIE DE UAPOryOFF t;
Donc
L'énergie W due à un volume T est donc limitée supérieurement : W a donc un maximum. Je dis que ce maximum n\^st atteint que si la surface extérieure est une sphère.
Nous allons d*abord démontrer le théorème suivant :
La capacité électrostatique a un minimum. — De tous les corps ayant même volume, la sphère est celui qui a la moindre capacité électrostatique.
En effet, la formule ^9) (p. 8) donne
rintégrale étant étendue h tout Tespace.
Supposons que sur un corps conducteur de volume T il y ait une masse électrique T en équilibre. Si V est le potentiel correspondant, sur la surface du corps on a
