K — AZ(/1+I

L'équation en K a donc n -j- i racines réelles, correspondant aux valeurs de /?,

On voit que les équations en K ont toutes leurs racines réelles ; les valeurs paires de/;, séparent les valeurs impaires.

i:i8 FONCTIONS DE LAMÉ

Lorsque b variera de a vers c les racines des équations correspondant aux deux groupes de fonctions de Lamé, contenant zéro et deux radicaux d'une part, sépareront les racines correspondant aux deux autres groupes contenant un ou trois radicaux ; cela ne cessera d'être, que si une des racines d'un groupe d'équations, devenait égale h une racine \ d'un autre groupe.

Soient, K cetle racine, R et S les fonctions de Lamé correspondantes, appartenant par hypothèse a deux groupes dillerents : on a par hypothèse

R/'4-(IIp2-+-K)R=o,

S''H-(Hp^ + K)X=o;

on en conclut

On peut intégrer immédiatement et écrire

nfs* — S'R = a.

Si on suppose R et S exprimés en fonction elliptique du paramètre //, on sait que l'on pourra augmenter u de 2 (^, de 2 co^ ou de 2 CJ3 de façon que R par exemple ne change pas de valeur, et que S change de signe, et de même pour R' et S^ ; mais alors le produit RS' — SR' aurait changé de signe ; on a donc a = o ;

on en conclut que -^ est une constante, ce qui est évidemment

faux.

Deux équations en K correspondant à une même valeur de n ne peuvent donc admettre de racine commune.

Remarquons que dans l'équation en K le coefficient du terme de degré le plus élevé se réduit à l'unité; il est donc impossible que le degré de l'équation s'abaisse.

Les fonctions de Lamé sont linéairement indépendantes. — Je vais démontrer maintenant qu'entre les p fonctions de Lamé, d'une même forme, et pour une valeur de n donnée il

n'existe aucune relation linéaire à coefficients constants ; (/^ est

1 un des nombres \- i. , ■ , — ) .

LES POLYNOMES DE LAME ONT LEURS li A CINE S RÉELLES

En effet : supposons que Ton puisse avoir une relation de la forme

en portant R^+i dans Téquation du second ordre, on aura à écrire que les p coefficients d'un polynôme seront nuls ; on aura pour déterminer a^ a^... a^. p -\-i équations du premier degré, dont la première sera satisfaite identiquement. Il restera donc p équations homogènes à q inconnues. L'élimination de ces inconnues donnera un certain nombre d'équations en K de degré au plus égal à gr et ces équations devront être satisfaites pour les p valeurs de K ; ces équations se réduisent alors à des identités. On peut donc déterminer les coefficients a^, ag... a^ quel que soit K, et on aurait alors un polynôme comme solution de l'équation de Lamé, et cela quelque soit K; c'est une contradiction.

Les polynômes de Lamé ont leurs racines réelles. — Je vais maintenant démontrer qu'un polynôme R quelconque a toutes ses racines réelles et comprises entre a^ et c^.

On peut partager l'intervalle de — 00 à + 00 en quatre autres par les nombres a^^ h^ et 6*^.

Je vais d'abord démontrer que le nombre de racines compris dans chaque intervalle est constant lorsque i* varie de a^ à c^. En effet, il ne peut en être autrement que si, pour une valeur de i, deux racines réelles devenaient imaginaires. Mais alors, pour cette valeur de i, ce polynôme aurait une racine double : R' serait nul. On a

R'' = FR = o,

F étant (IPp + K) ; on a

R'' = FR'+F'R, R^v ^ FIV'+ 2F'R'+ r^R'^ etc. ;

toutes les dérivées seraient nulles, ce qui est impossible.

Il pourrait encore arriver que Tune des racines devienne égale à a^^ h^ ou 6"^. Supposons par exemple qu'une racine devienne égale à a^ : comme on a posé

pn—e^=f—a\

PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. y

la valeur de u correspondante serait co^, or on ay/w^ =0, o), est un "^ zéro de p'^^ ; donc ce serait un zéro de R' et l'on revient au cas

précédent.

Ceci posé soit s^ le nombre des racines imaginaires de l'ensemble des polynômes correspondant à une valeur de n ;

£2, le nombre des racines réelles comprises entre «' et i* ;

Eg, » » réelles comprises entre i* et c* ;

e^^, » » réelles non comprises entre a^ et c^,

. Le nombre total des racines est égal à la somme des degrés des polynômes

Lorsque i* est égal à a', toutes les racines s^ se réduisent à a^ et e'3 se réduisent à a* ou à c^ ; lorsque h^ est égal à c^, toutes les racines Sg se réduisent à c^ et e^ se réduisent h a^ ou à c^.

Mais si a^ = b^ les polynômes sont les dérivées successives de (v^ — i)" et ils ont toutes leurs racines réelles ; il y en a un qui

a o racine, un qui en a une, un qui en a deux, ... un qui en a — abstraction faite des racines :± i ; on a donc

de même on a

Nous avons donc l'égalité

d'où l'on conclut :

et par suite

ei+Sii + e'2 + e's = <>-

Le théorème est donc démontré.

DE VELOPPEMENT D UNE FONCTIOy 1 3 1

Pour savoir maintenant combien il y a de racines dans chacun des intervalles a^... b^, i^...c%on voit que dans le cas général il y en a autant que dans le cas particulier, où a^ = b^.

Et on voit qu'il y a :

un polynôme ayant o racine entre a^ et i^, et — entre b^ et c^.

Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé, — Soit un ellipsoïde de la famille, déterminé par le paramètre p ; si je pose

v/(p^-i-"/(?^-vV

j'ai

rZMN.M,Nycr = o.

MN désignant un des produits déjà désignés, M^N^ en désignant un autre, et Tintégrale étant étendue à toute la surface de Tellipsoïde .

Soit

V = RMN, V, = R,M,N,.

Puisque Ton a AV = o, la formule de Green donne

dn ^ dn /

l'intégrale étant étendue à une surface fermée quelconque ; supposons que cette surface soit l'ellipsoïde ; R et R^ sont alors des

dV d\ constantes. Calculons -^— et —j-^ : quand on se déplace sur la

an an

i3a FOyCTIOyS DE LAMÉ

normale à Tellipsoïde, ix et v demeurent constants, p augmente de dz ; et on a

mais nous avons

rfV dn

ÔV rf? dV du dp dn du rfp

ÔV du du dn '

dV -,„ dR

dn

du du '

l'intégrale devient donc

MN. M,N, (RR', — R,R') ^ rfa = o ;

mais RR'^ — R^R' ne dépend que de p et comme c'est une constante, on peut la faire sortir du radical. On a d'ailleurs

il vient donc en changeant le signe

— MNM.N, ~dfj=o.

Tout revient à calculer

du du do

dn dp dn '

nous avons vu que l'on avait, en posant p^ =pu'\- h

d'où

do ,

du - '

lorsque p tend vers l'infini, pu tend vers oo , u tend vers o, donc décroit ; on doit prendre le signe moins.

'il

DÉVELOPPEMENT h* UNE FONCTION i33

On a d'ailleurs, puisque rélément linéaire est

dn^ = ol' df + pWjjL^ + f rfv^

et que p seul varie sur la normale :

d^ ^j Av/(iJL-^ — >/)

dn OL Q

On a donc, en posant

du

dn '

ce qui est l'égalité annoncée. L'intégrale, d'ailleurs, ne dépend pas de p. Car nous avons

rfo" = Pyd^dv ; et par suite

w Q^ y/— I rf[JL^v

\^~BCv/(p'^-^o'^-v^)

/ ,. ([^^ — ^^) V^— ' ^!^^^ t^^'~ BC

On a démontré que toute fonction déterminée sur l'ellip*^ solde peut se mettre sous la forme d'une somme de fonctions de Lamé;

* =^ A4 Ma.N,.

Le théorème précédent permet facilement de trouver les coefficients. On a

fl<^Mk^kdcr^fYAJ^hNM^id<T; le second membre se réduit a A^t / M^N^rfo" : ce (][ui détermine A,,.

i34 FONCTIONS DE LAMÉ

Les fonctions S. — Nous allons maintenant considérer une autre fonction de p satisfaisant aussi à Téquation de Lamé; nous la définirons ainsi qu'il suit.

Soit R une fonction de Lamé de degré n définie par la relation

R"+FR = o;

la fonction S, associée à la fonction R, sera définie par la relation

S" + FS = o où F a la même valeur : on en conclut que

en intégrant on trouve

S'R — RfS^=C%

et nous prenons arbitrairement cette constante égale à an -j- i ; on a donc

Donc

du ;

on peut choisir arbitrairement la limite inférieure d'intégration et on a

Pour p^ très grand

R = Ap»,

A étant une constante que nous pouvons prendre égale à Tunité ; Il est alors très petit : puisque

LES FoycriONS s lis

p^ est approximativement égal à — j

On a donc

s est donc sensiblement égal à z^** + * = ^^^ ; le produit SMN

satisfait aussi à Téquation de Laplace.