CHAPITRE VII

ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES FIGURES d'Équilibre

Problème de Diricblet sur r ellipsoïde. — Abordons maintenant le problème de Dirichlet pour un ellipsoïde, dans lequel on se donne, sur un ellipsoïde déterminé par le paramètre p^, les valeurs d'une fonction V, en proposant de trouver la fonction V satisfaisant h l'équation de Laplace et prenant sur rellipsoïde la série des valeurs données.

Soit sur Tellipsoïde

on peut poser

A,=«,RÎS?,

RJ étant la valeur pour p = p^ de la fonction R associée à M et N, et Sj » » S, » R,.

On a alors

^=Va,R?S?M,N,.

Ceci posé, considérons la fonction définie par l'expression

RMN à l'intérieur de rellipsoïde, et

aR«SMN

a l'extérieur du même ellipsoïde.

PROBLEME DE DIRICIILET SUR V ELLIPSOÏDE i i;

Ces deux séries sont convergentes dans les espaces indiqués, la fonction est donc bien déterminée.

Calculons les quantités

(")V ÙV

et

on a

On a de môme

ùV

V est une fonction continue quand on traverse la surface, mais ses dérivées ne le sont pas. V est donc le potentiel d'une masse superficielle, dont la densité S est déterminée par la relation

ÔV ùV g

Au lieu de supposer la densité variable, on peut supposer une distribution de densité égale à i, mais d'une épaisseur î^, telle que Ton ait

équation qui détermine Ç, car on a

= zVa(2«+i)MN.

Si l'épaisseur de la couche est déterminée par une fonction de la forme