V-y — 4— MN
d'où Ton déduit simplement le potentiel à l'intérieur et h l'extérieur de la surface.
Application» — Voyons maintenant les plus simples des fonctions de Lamé.
I® pour n==o on a
S= li.
2^ pour w = I on a trois fonctions R
On a
en posant
3° Pour /i = 2, on a :
d'abord deux polynômes du second degré
p2 — A^ et
APPLICATION i39
que Ton peut calculer facilement ; on sait que Ton a
a^>h'>b'>h">c\ et ensuite les trois fonctions
On a
R, = RjR2;
le produit R^^M^N^^ est à un facteur constant près i/z. » R^MjNj » » zx.
RjMjNj » )) xy,
Remarquons encore la signification des fonctions R^, R^, R3, qui sont les demi-axes de l'ellipsoïde correspondant à p. Son volume est
T = -77- TrR^RjRg = — -TiR^R^.
Supposons qu'à la surface de l'ellipsoïde, soit répandue une couche de densité constante, et d'épaisseur
le potentiel à la surface sera
les indices inférieurs indiquant le numéro d'ordre de la fonction de Lamé, l'indice supérieur indiquant qu'on y fait p = p^. A l'intérieur, le potentiel sera
le potentiel sera constant à l'intérieur ; on peut donc considérer la distribution de matière comme la distribution d'une couche électrique en équilibre à la surface de Tellipsoïde supposé conducteur.
i^o ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
Le potentiel sera a Texténeur
Les surfaces équipoteiitlelles seront donc les surfaces u = C^*, c'est h dire les surfaces p == constante ; ce seront des ellipsoïdes homofocaux.
La couche correspondante est celle comprise entre deux ellipsoïdes homofocaux comme le montre la valeur de Ç.
Attraction d'un ellipsoïde homogène, — Considérons (fig. 17) un ellipsoïde homogène dont le potentiel soit V. Déplaçons l'ellipsoïde parallèlement à Taxe Ox^ d'une quantité c; le potentiel en un point [jCy y, z) P' va devenir
dV
et l'ellipsoïde prendra la position E'. La différence de potentiel provient de ce qu'il y a en plus la région ombrée h droite, et Fig. 17. en moins la région ombrée à gauche. On
peut supposer que c'est le potentiel d'une
épaisseur Ç répandue a la surface de l'ellipsoïde, Ç étant positif
à droite et négatif à gauche.
Calculons !^ : si PP'' est la normale commune aux deux ellip-
soides, Ç = PP"; PP' = e, et le triangle PP'P'' est rectangle
en P'', on a donc
PP''=£cos(PF,PP'0.
Comme
FF' cos (PP, PP'Q =1 projection de PP'/ sur 0.r, et, puisque PP'' est normale h l'ellipsoïde p, on a
J^ cos P = -^ do - dp ^
^x dp , — ^ dn
dp dn
^x dp ,.
dp dn
