RI
on trouverait de même que les rapports des attractions suivant Oy et 0^ sont respectivement
^' et ^'
Ri RJ
Ellipsoïde de Mac Laurin. — Considérons un ellipsoïde homogène, que nous faisons tourner autour de l'axe Ox, d'une rotation infiniment petite o) ; le point de coordonnées x, y^ z, aura pour nouvelles coordonnées
^, y + wr, z — ioy;
son potentiel sera
N Ar/ N . / ^V dV\
V(^, y + -w, z—ijio)=Y{x, y, -J+^Y-^ ^'d7/'
V — V est le potentiel dû à la couche superficielle comprise entre les deux ellipsoïdes.
Si {x^ y, z) représente un point intérieur, l'action en ce point a pour composantes
T:rS; TySl TcS
elle dérive d'un potentiel
j44 attraction des ellipsoïdes
en appelant V^ le potentiel au centre ; et cette formule est encore vraie à la surface : donc
dV dV
et
sont proportionnelles h y et h z, et on a
V — V = A(ûyz
= A(oR,M,N,.
En appliquant la formule démontrée précédemment (p. 137), Tépaîsseur de la couche en un point est
47r Sî
Pour que l'ellipsoïde puisse être une figure d'équilibre, il faut qu'à la surface ou ait
VH {y'-^z') = C\
Nous allons traiter un problème plus général ; de savoir si un ellipsoïde à trois axes peut être une figure d'équilibre, sachant qu'il est soumis, outre les attractions mutuelles de ses parties, à une force dérivant d'un potentiel
a, [3, y étant des constantes.
Pour que l'équilibre ait lieu, il faut que
soit constant à la surface de rellipsoïde dont Téquation est
Rî ^ R^ ^ R^
Il faut donc que Ton ait (I) «RJ-TS.R, = ?R^-TSA=TRi-TS3R3.
ellipsoïde de mac lavrin 145
Dans le cas particulier qui nous occupe, c'est-à-dire quand Tellipsoïde est en rotation, on a, a= o, ^ = y = to^, et nos formules deviennent
^ TS^R, = (o^R^ — TS,R, = iù^Ki — TS3R3 ; on a donc (II) ^^ =^\ ^^383 — RjSt ^V R^Sa — R,S,
et d'ailleurs
T= -^ RjR^Rg;
T est une donnée du problème où les inconnues sont p^ — a^, ^—b\ f — c\
On a une première condition, qui est que a>^ doit être positif; donc il faut que
R3S3— RiSi>o.
Ces inégalités sont toujours vérifiées. Démontrons par exemple que la première Test, c'est-a-dire que Ton a
R2S2— RA>o.
Remarquons que R^, R^, S^ et Sg sont des quantités positives, puisque p^ > a^ ; il faut donc que Ton ait
Si Rj '
c'est-à-dire
PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. 10
i46 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
et on est ainsi ramené a un théorème d'arithmétique connu. Le premier rapport est compris entre la plus grande et la plus petite valeur du rapport des quantités placées sous le signe J": la plus grande de ces valeurs est i correspondant à m = o, p = oo,
p2 — a^ la plus petite est ^ j^ ; le théorème est donc démontré. On
en donnera plus loin une démonstration plus générale.
On voit de suite que Taxe de rotation ne peut pas être Taxe Oy, car il faudrait que RgS.^ soit la plus grande des trois quantités analogues.
La relation (II) a une solution évidente, c'est R2 = R3, qui conduit à un ellipsoïde de révolution autour de Ox : c'est l'ellipsoïde de Mac Laurin.
Ellipsoïde de Jacobi, — Les relations (II) peuvent aussi être satisfaites pour un autre ellipsoïde découvert par Jacobi, mais nous devons, avant de le rechercher faire la remarque suivante :
Si nous nous donnons un ellipsoïde homogène quelconque, nous pouvons toujours choisir les constantes a, p, y, de manière à satisfaire aux relations (1) c'est-à-dire de façon que cet ellipsoïde soit en équilibre sous Faction de la gravitation et d'une force supplémentaire dont les composantes sont aj7, ^y^ yz ; nous allons supposer a = o.
La condition d'équilibre d'un ellipsoïde homogène E soumis h la gravitation et a une force perturbatrice dérivant d'un potentiel — (Py^ -}- Y^^) est que, à la surface
soit une constante.
Supposons que l'ellipsoïde se déforme mais peu, de façon que la nouvelle surface S ne diffère pas beaucoup de l'ellipsoïde, et
ellipsoïde de JACOB 1 147
cherchons à quelle condition 2 sera une figure d'équilibre, en continuant à supposer que le fluide reste soumis aux mêmes forces, c'est-a-dire à la gravitation et à la force a^, ^i/, yz.
La condition d'équilibre est que, en désignant par V -|- f le potentiel dû à la figure 2 ;
soit une constante à la surface.
Soit ^ la longueur de la normale comptée de E à 2 ; on pourra développer ^ en une somme de fonctions sphériques :
et Ton aura à la surface
4irP
