R^S^MN

2n-\- i D'autre part, on aura, a des quantités près de Tordre de J^',

et, en appelant g' l'intensité de la pesanteur à la surface, il vient

dU

d'où

La condition d'équilibre est que U soit une constante et comme

la condition d'équilibre est que

l48 ATTRACTIOS DES ELLIPSOÏDES

uni une constante à la surface c'est-à-dire que

Y, ^êr ^*^*^'^' -S^'?^»^' = ^'

Je dis que gl est une constante sur Tellipsoîde ; en effet, déplaçons Tellipsoïde parallèlement à l'axe 0.r, Téquilibre ne sera pas troublé, car par suite de la condition a := o, le travail de la force (o^r, ^y, y^) ^^^ i*ul- Nous avons vu que l'on avait pour t^ la valeur

K étant une constante ; l'équation précédente se réduit en ce cas à

ceci ne sera constant que si

L'équation (i) devient alors

KiS^-^^--^

et Téqualion d'équilibre devient, en supprimant Tindice zéro,

Si la masse est en équilibre sous l'action de l'attraction et de la force centrifuge, elle le sera encore si on lui donne un mouvement de rotation. Cette rotation est une des transformations que l'on peut faire subir à un ellipsoïde de Jacobi, sans troubler ré((uilibre.

Nous avons vu que dans ce cas, on avait à un facteur constant près (p. i44)

ellipsoïde de JACOB I 14 9

on en conclut que rellipsoïde de Jacobi doit satisfaire à la relation

Réciproquement, supposons qu'un ellipsoïde soit en équilibre sous l'action de l'attraction et d'une force dérivant du potentiel

je dis que si on peut le faire tourner d'un angle a> sans troubler l'équilibre, c'est que P=Y.

En effet, a la surface on doit avoir, en appelant V le potentiel newtonien

au sommet du petit axe V = Vj; si on fait tourner l'ellipsoïde d*un an^le o) autour de 0^, le sommet du petit axe restera sur la surface de l'ellipsoïde, la constante V, n'aura pas changé, V n'aura pas changé non plus.

Or

il faudra donc que sur la surface et en tenant compte des relations

ot/ = (OZ oz == — toy,

on devra avoir sur la surface

(? — T) wî/c = o; donc

i5o ATTRACTIOy DES ELLIPSOÏDES

Discussion de l'équation des ellipsoïdes de Jacohi, — Nous avons donc à discuter Téquation des ellipsoïdes de Jacobi

Cette équation ne convient pas aux ellipsoïdes de révolution, cela provient de la façon dont on a établi cette équation : dans le cas d'un ellipsoïde de révolution, on aurait en effet Ç=o.

Au lieu de discuter l'équation (i), nous allons discuter l'équation plus générale

oii l'on a p" > d^ ; m étant l'ordre de la fonction R^., n étant

l'ordre de la fonction R,.

F Fet-rp- sont de même signe, de plus R;^ ne peut pas s'annuler

puisque les racines des polynômes R sont comprises entre a~ et c^ ; donc l'équation

'- RJ (2«i+i)R, (2n+i)R, RJ.

a les mêmes racines que F=o.

F Les racines de l'équation ^.^ = o sont séparées par celles

de la dérivée :

du im-\-i du R,^. iin-\-i R* du Rj

I S, rf / R?

2/2 -f- I R; du

On a par définition

d Sj^ 2/72+1

'dIi:'Ri^~ Rl~'

DISCUSSION DE V ÉQUATION DES ELLIPSOÏDES DE JACOBI i5i

et par suite

d?, 1 S, R, R;R;,— R,RI

du 2/Z+ 1 R, ' R/. R

aS, r;r,-r,ri. .

mais S,- ne peut s'annuler : donc les racines de , ^ sont les

racines de RÎRfc — RiR/t. Nous ne nous occupons évidemment que des racines supérieures h a^.

Cherchons la dérivée de cette fonction par rapport à «, c'est :

R;'R^ - R.Rl' ;

et, d'après la définition de R, et R;>.,

R;/ = (IIp^ + K) R,, on a

R^R^ *[«(«+,) ,„ [ni + 1 )] p' + K, — Kj.) .

Les deux premiers facteurs n'ont pas de racines en p^ supérieures à a^; le troisième ne peut évidemment en avoir qu'une

seule : donc ^ ne peut en avoir plus de deux, F^ ou F ne peuvent en avoir plus de trois.

Supposons que -^ soit constamment croissant, sa dérivée ne

Ra s'annulera pas ; donc F^ sera constamment décroissant et ne

pourra avoir qu'une seule racine. Au contraire, si — - est toujours

décroissant, Fi sera toujours croissant. D'ailleurs pour u = o,

p =00 , -^êst à peu près égal à— ; donc F part de zéro et est

toujours croissant ou toujours décroissant, donc n'a pas de racines, sauf la racine p = QO qui n'est pas admissible.

Dans le cas le plus général, F peut avoir, nous l'avons vu, trois racines : mais parmi celles-là se trouve la racine p =qo ,

i5a ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

F a donc zéro, une ou deux racines supérieures à a*; si-ijî- est

toujours croissant ou toujours décroissant, elle n'en a aucune. Revenons alors à Téquation

(R\ ^ -q-* ) sera un polynôme

dont toutes les racines sont réelles et comprises entre a^ et c^ ; donc la dérivée ne peut s'annuler pour une valeur de p^ supérieure à a^. L'équation F n'a pas de racine supérieure à a*. Supposons maintenant que R, ne soit pas divisible par yç^ — a% et que n soit plus grand que i, je dis que l'équation a au moins une racine. En effet, substituons a^, le premier terme s'annule, le second est négatif : on a donc une somme négative ; remplaçons p par 00 ; le premier terme de l'équation est a peu près égal à

le résultat est positif; il y a donc un nombre impair de racines entre a^ et + oo , il ne peut y en avoir plus de deux, il y en a donc une et une seule.

Ce raisonnement n'est pas valable si /i= i, c'est-a-dire si

ou bien

dans ces deux cas, la quantité

et les quantités analogues sont toujours croissantes lorsque p^ varie de oo à a^. Donc l'équation correspondante n'a pas de racines : c'est un théorème déjà énoncé (p. i45).

FIGURES DÉRIVÉES DE L'ELLIPSOÏDE DE MAC LAURIN i53

Appliquons ce prîncJpe h rdlipsoïde de Jacobi. Il faut considérer l'équation

R^ n'est pas divisible par R^ : donc il y a une racine, et une seule. Donc parmi les ellipsoïdes homofocaux, il y a un ellipsoïde et un seul, qui soit une figure d'équilibre ; c'est l'ellipsoïde de Jacobi.

Figures dérivées de l'ellipsoïde de Mac Laurin. — Supposons que b^ = c^ et cherchons s'il y a des figures peu différentes de l'ellipsoïde de Mac Laurin. Pour qu'il existe une figure d'équilibre 2 peu différente de cet ellipsoïde, il faut que l'on ait la condition

R,Sj RfS,

Nous avons vu qu'en posant

on avait

N,== cos/?cp,

h étant une constante. On a posé

La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (i) ait une racine est que R, ne soit pas divisible par y p'^ — a^'^ donc Mf ne doit pas être divisible par y a^ — [jl% donc n-\- p doit être pair, n etp étant déterminés, une figure d'équilibre voisine d'un ellipsoïde de révolution est déterminée par la relation :

Ç = £ IMi cos po

ou, d'une façon plus générale,

J^ == IMi (e cos p'f T-}- e' sin p'f) .

i54 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

On peut supposer £' = o : cela revient à faire tourner les axes de coordonnées d'un angle convenable autour de Ox, La figure que l'on obtient ainsi est une figure admettant l'axe Ox comme axe de symétrie d'ordre/^. F (i) ne change pas si Ton change Ç en — Ç, donc le plan des j/z est un plan de symétrie. Si/> = o, Ç ne dépend pas de îp, la figure est de révolution.

On ne doit pas conserver parmi les équations obtenues celle où n = Oy car le volume ne serait pas conservé; de même on doit

exclure n= i, car alors R,- serait divisible par y p^ — a^ : donc la valeur minimum de n est 2; à cette valeur de n correspondent deux valeurs dep : ^ = o, et /? = 2.

Quelles sont celles de ces figures qui sont ellipsoïdales : considérons un ellipsoïde E^ et un autre E, qui en soit peu différent mais non homofocal. Le potentiel de chacun d'eux k son intérieur est une fonction du second degré des coordonnées cartésiennes ; la différence des potentiels est donc aussi un polynôme du second degré : c'est d'ailleurs le potentiel dû a la couche comprise entre les deux ellipsoïdes. On petit par suite développer ce potentiel sous la forme

YsRMN,

R, M, N étant des fonctions ^ph é rique ^ d'ordre o, i ou 2. A la surface on a

sR.MN.

et à l'extérieur on a par conséquent

l'épaisseur de la couche produisant ce potentiel est donc

IMN.

VARIATIONS DE uj2 AVEC L'APLATISSEMENT i5î,

Il n'y a que des termes d'ordre o, i ou 2, mais nous avons dit que M ne pouvait être d'ordre o ou 1 ; il reste donc n==2 et p=o ou/^ = 2. Siy^ = o, la surface considérée est de révolution, c'est un ellipsoïde peu différent du premier; sip = 2, on a un ellipsoïde de Jacobi.

Variations de w^ avec l' aplatissement, — Si on fait varier p- de a^ à + 00 , l'aplatissement des ellipsoïdes considérés varie de o à I .

Lorsque l'aplatissement est nul to^ = o ; l'aplatissement croissant, O)'- va aussi en croissant; mais il peut avoir des maximums et des minimums; lorsque l'aplatissement augmente, le moment d'inertie principal augmente aussi.

On a vu que