AI+I
p continuant à décroître, on aura alors
R^S, Ri Si
mais on voit que l'on rencontre d'abord un ellipsoïde de Jacobi.
Figures dérivées de l'ellipsoïde de Jacobi. — 11 reste à étudier les figures d'équilibre qui différent peu de l'ellipsoïde de Jacobi. Pour cet ellipsoïde on a
pour une figure peu différente, on aura
R.S. ^ R.Sj
3 2rt + I '
la hauteur de la surface au-dessus de l'ellipsoïde étant
On a donc à considérer les deux équations
FIGURES DÉRIVÉES DE L' ELLIPSOÏDE DE JACODI i^;
On a trois inconnues p- — a^, p- — i'^, z^ — c^ ; et on a pour le volume qui est donne
Pour que l'équation
ait une racine, il ne faut pas que R,- soit divisible parRj==y p^ — a^; pour que l'équation
ait une racine il faudra que T=r-i- ne soit pas constamment croissant,
R, a donc comme seules formes possibles les formes suivantes, où P désigne un polynôme en p'^.
Pxy/ r — ^S
Voyons si ces quatre formes sont possibles et rappelons que
l'on a R, = v/(?'-^')(?' — ^•').
i" Type, Rj est un polynôme ; si a est la plus grande racine de R, on pourra poser
a est compris entre a^ et c^ et on a
Oj- croit constamment,
i / wi croit constamment,
\/ -! croît si a est inférieur à Ir. décroît dans le cas con-
I S8 A TTRACTIOy DES ELUPSOIDES
traire ; îl ne faut pas que \ / -^ soit décroissant : donc %<b'
et toutes les racines de R,- sont par suite comprises entre b' et c". Parmi les fonctions de Lamé d'ordre /i, il y en a une et une seule ayant toutes ses racines comprises entre b' et c' ; c'est cellelà que Ton doit prendre pour R,.
2* Tt/pe, Prenons R, = y z' — b' P et appelons a la plus grande racine du polynôme P ; on a
Les trois facteurs sont constamment croissants, donc toutes les fonctions de ce type sont à rejeter.
5* Type. Posons
n étant un polynôme dont les racines sont inférieures à a; nous avons
Ri /-; r A I 2^ — a „
Pour que Téquation puisse avoir une solution, il est nécessaire que a< b' . Donc toutes les racines de Psont comprises entre b"- et 6•^
4® Type, On volt de même que les fonctions du quatrième type
sont telles que -~ soit un polynôme sans racines supérieures à
a^, donc II n'y a pas à considérer de fonctions du 4** type.
Donc pour qu'une figure peu différente d'un ellipsoïde de Jacobi soit une figure d'équilibre, Il est nécessaire que R, soit une des fonctions que nous avons appelée Ro.„. Je dis que cette condition nécessaire est aussi suffisante : en effet, supposons que b^ varie de c^ à o}\ à chaque valeur de i" correspond une valeur de p'^ telle que
FIGURES DÉRIVÉES DE L'ELLIPSOÏDE DE JACOBl iSg
considérons alors la fonction,
pour i"^ = c^, -^ est constamment croissant, donc F est positif ;
si P=a^^ la valeur correspondante de p^ tend vers a^, alors
Rv=o,
R . ^ o puisque R, ne contient ni yp'-^ — a^ ni y P~^» ^^ 4"® toutes ses racines sont comprises entre b' et c^ : donc
et il y a certainement un système de racines pour les équations considérées.
Nous voyons donc qu'il y a des figures d'équilibre voisines des ellipsoïdes de Jacobi.
Remarque. — Quelle est la première figure d'équilibre que Ton rencontre ? c'est-à-dire, pour quelle valeur de n la valeur correspondante dep est-elle maximum?
Considérons deux fonctions Ro,„i et Ry „,
je dis que
Ko.n Ri
est constamment croissant; nous allons montrer que la dérivée, prise par rapport a w, est constamment positive ; cette dérivée est à un facteur positif près
R'„R.-RaR'.,
si R, n'est pas divisible par y/p^ — a% R/ l'est; et réciproquement.
Mais ici R^ et R,^. ne sont divisibles ni pary p^ — a^ ni par y p^ — b^; il en résulte que
s'annule pour p^ = a^.
i6o ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES
SI on exprime R, et R;^ en fonction de Targument w, on a
R, = F{pu) , R:.=;y« F [/,(«)],
et on voit que la dérivée n'a pas de racine supérieure à a^. En effet la dérivée de cette fonction (prise par rapport à u) est
(ri;'r,-r,r;') = (?*-?.)R.R*
comme on Ta déjà vu ; R, et R;^ ne peuvent s'annuler, ©,• — «pj^ ne peut s'annuler deux fois, puisque c'est un polynôme du premier degré en p^. La dérivée ne peut donc s'annuler plus de deux fois pour a^ ^ p^, c'est-à-dire pour o < m ^^(k\.
La dérivée qui s'annule pour m = o, u==(i^^^ ne peut donc s'an-
nuler dans l'intervalle; ~- est donc constamment croissant lorsque
Rt
p^ varie de a^ a -f- oo . Il en résulte que l'on a aussi
in-\- 1 2/71+1 '
lorsque p^ varie de oo à a^^ on rencontre donc d'abord une valeur satisfaisant a l'équation
puis ensuite la valeur de p^ satisfaisant h l'équation
La première des valeurs de n que l'on trouve est donc /i = i , puis /i 1= 2 : on a déjà examiné ces valeurs ; il faut maintenant examiner la surface voisine de l'ellipsoïde de Jacobi et correspondant a Rç 3 ; nous allons étudier d'une façon générale la surface correspondant à R^.n-
L'épaisseur de la couche sera
