FIGURES DÉRIVÉES DE V ELLIPSOÏDE DE JACOB I

cette épaisseur sera nulle aux points où Ton a

ou bien

Ceci est décomposable en facteurs quadratiques de la forme

t^'ff- 19-

les a sont d'ailleurs compris entre P et c^ ; les surfaces correspondantes sont donc des hyperboloïdes à deux nappes coupant Fellipsoïde suivant des lignes de courbures d'un seul système.

D'un côté d^une de ces lignes Ç sera positif; et de l'autre côté ^ sera' négatif. On peut, avec ces données construire la figure dans l'hypothèse de Al = 3. On représente (fig. 19) en ponctué le contour apparent de l'ellipsoïde, en traits pleins l'intersection de la surface avec l'ellipsoïde ainsi que le contour apparent extérieur à l'ellipsoïde, en pointillé le contour apparent de la surface intérieure à l'ellipsoïde. L'une des lignes de courbure est d'ailleurs l'ellipse principale, comme on le voit en pen) arquant que

On construira avec les mômes conventions la figure d'équilibre correspondant h R^, ,^ (fig. 20).

Je remarque qu'on ne peut prendre pour les fonctions R, de fonction du second ordre, car il faudrait prendre pour la fonction Rq2 un polynôme de la forme p" — /r, ce qui donnerait un autre ellipsoïde et nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir qu'un ellipsoïde de Jacobi pour une vitesse de rotation donnée.

PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. 11

ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

En résumé, si on fait varier b^ de c^ a a*, on obtient des ellipsoïdes a chacun desquels correspond une valeur cj et une seule ; iù ne peut avoir de maximum ou de minimum, car s'il y en avait

un Wj, à une valeur voî-

Fi g. ao.

sine de (o^ correspondraient deux figures ellipsoïdales ce qui n'est pas. Donc <*> varie toujours dans le même sens.

Supposons que 6* et c^ tendent vers zéro, la forme de l'ellipsoïde tend alors vers une aiguille allongée; (o a d'ailleurs la même valeur pour deux ellipsoïdes semblables. Il suffit donc de voir ce qui se passe dans le cas où é et c restant fixes, a augmenterait indéfiniment. On aurait alors un cylindre elliptique, la force résultante de l'attraction du cylindre sur lui-même et de la force centrifuge doit être normale au cylindre, c'est-à-dire parallèle au plan yOz. Considérons un point d'une génératrice passant par l'axe de révolution : par raison de symétrie, l'attraction doit être parallèle au plan yOz^ il en résulte que la force centrifuge qui est perpendiculaire a Oz ne peut être que nulle, et par suite <*> tend vers zéro lorsque a augmente indéfiniment.

On peut d'ailleurs remarquer que le cylindre ne peut être que de révolution pour que l'équilibre soit possible.

Stabilité des figures trouvées

Représentation graphique des résultats précédents, —

Prenons deux axes de coordonnées (fig. 21) et portons en abs-

cisses les valeurs de -:^|- et en ordonnées -57-; ces quantités sont

les rapports de l'axe moyen et du grand axe au petit.

On a un premier point A correspondant au cas où ces rapports sont égaux à i, la figure correspondante est une sphère. La partie

i II' /^ \ \ Vf

JC

Fig. 21.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS i63

de la bissectrice de l'angle xOy partant du point A correspond aux ellipsoïdes de révolution. Les ellipsoïdes de Jacobi sont représentés par une courbe CBC symétrique par rapport à cette bissectrice et la coupant en un point B.

Pour les ellipsoïdes de Mac Laurin, w* va en croissant quand on part en croissant du point A, jusqu'à ce que l'on arrive en un point D, puis il décroit quand on s'éloigne du point D jusqu'à l'infini où il arrive à la valeur zéro. Sur la courbe CBC deux points symétriques par rapport à AH représentent le même ellipsoïde ayant tourné de 90°; w^ décroît quand on part de B pour aller vers C ou vers C; les points C et C s'éloignant indéfiniment correspondent au cas du cylindre de révolution, la courbe CBC est asymptote aux droites x =. i , y = i.

Nous marquons sur AH les points E, F, correspondant aux figures peu difierentes de l'ellipsoïde de révolution, de même sur CBC, nous remarquons les points GKLM, G'K'L'M', correspondant aux valeurs Rq„ donnant les figures peu différentes d'un ellipsoïde de Jacobi, que nous avons rencontrées précédemment.

11 faut remarquer que les paramètres que nous avons pris ne correspondent pas aux vraies données du problème. Les paramètres sont le volume T, la rotation 'o et le moment principal d'inertie J. Si on pose [jl=(o^J, jx et T sont des données du problème, puisque (o^J doit être constant; [jl est du cinquième ordre par rapport aux longueurs, T est du troisième ; si on pose

iTX 5

M sera une donnée du problème indépendante de l'unité de longueur choisie.

y /M^JL

164 ATTRACTION DES ellipsoïdes

Lîouville a cherché à quelles valeurs de M correspondaient les divers points des lignes AH et CBC. Il a montré que lorsqu'on se déplace sur AH, M croît lorsqu'on va de A à D et décroît si on va de D vers H. Sur la ligne CBC, M décroît lorsqu'on s'éloigne du point B soit vers C, soit vers C.

Donc si tù est très grand, il n'y a pas de figure d'équilibre possible; si (o est compris entre (Og et (o^, il y a deux figures possibles qui sont des ellipsoïdes de révolution.

Si (0 est inférieur à Wg, il y a quatre figures d'équilibre possible, dont deux sont des ellipsoïdes de Mac Laurin, et deux des ellipsoïdes de Jacobi ; ces deux ellipsoïdes de Jacobi sont d'ailleurs égaux comme on l'a déjà remarqué.

Courbes d'équilibre. — Considérons un système dépendant de n variables x^x., ... Xn, soumis à un système de forces dépendant d'un potentiel F [x^x^.., Xny a); la condition nécessaire et suffisante de l'équilibrej^est que F soit maximum par rapport aux x, X étant donné ; on a ici

La condition d'équilibre est que

ÔF ÔF ÔF

pour que l'équilibre soit stable, il faut de plus que la forme

soit une forme définie négative ; on peut la mettre sous forme d'une somme de n carrés :

Ces coefficients olj^ sont appelés coefficients de stabilité ; si l'un de ces coefficients s'annule, le discriminant de la forme 4> s'an-