COURBES D'ÉQUILIBRE

noie, puisque cette forme est alors réductible à une somme de moins de n carrés ; ce déterminant est, en posapt

hXj^X^

Si deux coefficients aj^ sont nuls, tous les mineurs du premier ordre de A sont nuls ; nous supposerons qu'il n'en est pas ainsi. Si A est différent de zéro, on peut résoudre les équations

ôF

ôF

' 0^2 ' ' ^Xn

et on aura

ôF

Différentions la relation -^ — = o par rapport à X, on aura

^x^^Xi d\

ôT

Ù^Tjd).

ce qui peut s'écrire

dXi

d^TjdX *

dXi Si A est différent de zéro, on peut trouver les valeurs de y^ ,

puisque l'on a n équations linéaires à n inconnues et les x seront des fonctions uniformes de )v, dans le voisinage des valeurs considérées.

Supposons A nul, sans que tous les mineurs du premier ordre le soient, supposons que l'on ait par exemple

ÔA

ôa

i66 ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

Nous pouvons alors résoudre les n — i dernîères équations linéaires par rapport à

dx^ dx^ dx^

ce qui montre que x^^ x^^ ... x^ seront fonctions uniformes de x^ et de X.

Substituons dans la fonction F les valeurs de x^^x^^ ... a:,,, en fonction de x^^ et \ tirées des équations

ôF ôF

on aura une fonction ^ {x^^ X), et on a

^__ôF^ dF j^ ôF dxn

dx^ dx^ djTj dx^ "' ^Xn dx^

mais par hypothèse

ôF dF

d^2 ^Xn

quand on y remplace x^x^,.,Xn en fonction de x^ et de X ; on a donc

d^ dF

dx^ ôjc^

La condition d'équilibre est alors que Ton ait

4 dx^

C'est une relation entre x^ et X qui définit une courbe, x^ sera

une fonction uniforme de X si — r-^ est différent de zéro ; la

dx\

. d% condition A = o équivaut donc à \ ' =o.

ttXy^

Supposons que cette condition soit remplie sans que Ton ait

même temps --7 — ^^- = 0, la courbe a alors une tangente verticale (fig. 22).

ÉCHANGE DES STABILITÉS

Quand X traverse la valeur de l'abscisse de cette tangente, il y a pour x^ deux valeurs réelles qui viennent se confondre, puis deviennent imaginaires; de même ^* pour x^j ... x^.

01 — ^ — ^Y" = o, le point correspondant de la courbe est un point double, à tangentes distinctes ou confondues ; Tune des tangentes peut être verticale ou non, on a deux dispositions principales :

celle qui correspond k deux tangentes distinctes et non verticales (fig. 23) et celle qui correspond à une tangente verticale et une non verticale (fig. 24).

Fig. aa.

JC,

Fig. a3

Fig. 24

On a deux cas à distinguer : dans le premier cas, deux valeurs réelles de x se confondent et redeviennent réelles quand on traverse la valeur correspondant au point double.

Dans le second cas, deux groupes de valeurs réelles se confondent et deviennent ensuite imaginaires lorque X traverse la valeur critique dans un sens convenable, une autre valeur de x est réelle avant et après la valeur critique. Les autres dispositions de figures peuvent se ramener à celles-là, du moins au point de vue qui nous occupe.

Échange des stabilités. — H y a équilibre stable, avonsnous dit, lorsque F est maximum, x^x^ ... x„ étant variables. Il faut a fortiori que F soit maximum si x^ étant donné on fait

ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

varier x^^ jCg, ...,^n d'une façon arbitraire, il faudra donc que

ÔF ÔF ôF

ÔJTj ÔJTg '" ^Xn

On tirera x^^x^^ -"i^n de ces équations dont le déterminant fonctionnel n'est pas nul par hypothèse, on portera ces valeurs dans F {x^x,^ .•.^n)^ ^t on aura une fonction qui devra être maximum pour qu'il y ait équilibre. Donc ^ (x^, X) doit être maximum ;

il y aura donc équilibre si , = o, mais il n'y aura équilibre stable que si l'on a en même temps > a < o.

Un arc de la courbe -^7-^ = partage la région du plan où

, rf-î-

il se trouve en deux parties, l'une où y^ > o, l'autre où ,^ <o ;

SI c est un arc sans sin

dx.

dx.

ingularité, , \ ne sera pas nul et sera

négatif si la région où ^ est positif est située au-dessous de

l'arc de courbe; et au contraire sera positif, si est positif au-

ax^^

dessus de l'arc de courbe considéré. Le premier cas correspond à une position d'équilibre instable.

En couvrant de hachures la région où .^ est positif, on voit

que la figure aS correspond au cas d'un équilibre stable et la figure 26 au cas d'un équilibre instable.

oa

Fig. 25.

Fig. a6.

' Dans le cas où l'arc BAC a une tangente verticale en A, deux cas peuvent se présenter, suivant que c'est la partie convexe ou la partie concave qui est hachurée.

ÉCHANGE DES STABILITÉS ■

Dans la figure a^ :

l'arc BA correspond à des positions d'équilibre instable, l'arc AC » » stable;

dans la figure 28 :

l'arc BA correspond à des positions d'équilibre stable l'arc AC » » instable.

Fig:. :

Ce qu'il y a d'essentiel, c'est qu'en suivant l'arc et en passant par le point A, les deux systèmes de figures d'équilibre échangent leur stabilité.

Dans le cas d'un point double sans tangente verticale, deux cas peuvent aussi se présenter; dans les figures 29 et 3o, les

Fiy. ag.

Fig. 3o.

arcs BA et AC' correspondent à des figures d'équilibre instable, les arcs B'A et AC correspondent ii des figures d'équilibre stable. Remarquons encore qu'en suivant l'arc BAC ou l'arc B'AC les figures d'équilibre, de stables deviennent instables ou réciproquement.

Enfin dans le cas d'un point double avec une tangente verticale, on arriverait à la même conclusion, les figures d'équilibre

ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

obtient en suivant un arc quelconque échangeant leur stabilité quand on passe par un point où ■j-~= o (fig, 3i et 32).

Fig. 3a.

Stabilité de l'équilibre des Ûg^ree trouvées. — Appliquons ceci à notre problème et considérons la figure 21; ce que nous avons appelé [i représentera ici ce que nous avons appelé X et <» correspondra à x^.

La fonction F, qu'il faudra rendre maximum est

aJ

w" augmente lorsqu'on se déplace de A sur D, et décroît de D à H; sur AH, M va en croissant, et croît aussi de B à C ou à C.

Il s'agit maintenant de traiter la question de stabilité.

Partons de A, où b) == o et où on a une sphère, nous savons que dans ce cas l'équilibre est stable : donc tous les coefficients de stabilité sont négatifs. Ils cesseront d'être tous négatifs quand on rencontrera une figure de bifurcation.

La première bifurcation que l'on rencontrera en suivant AH sera au point B, où l'ellipsoïde de Mac Laurin diffère peu d'un ellipsoïde de Jacobi. Le coefficient de stabilité s'annulera donc en même temps que

Après cela il ne s'annulera plus ; quand on arrivera en E, un