CHAPITRE VIII

ANNEAU DE SATURNE

Etude des ûgures annulaires d'équilibre. — On peut faire trois hypothèses sur l'anneau de Saturne : on peut admettre qu'il est solide, qu'il est fluide ou qu'il est composé d'une masse de solides indépendants ; la troisième hypothèse connue sous le nom d'hypothèse de Cassini parait être l'hypothèse véritable.

HYPOTHISSE DE l'aXNEAU SOLIDE

Historique, — Laplace est le premier qui ait examiné cette hypothèse : et il a remarqué que si l'anneau était homogène son mouvement serait instable ; pour peu que son centre s'écartât du centre de gravité de la planète, Tanneau se précipiterait sur celle-ci ; l'attraction de Saturne ne tendrait qu'à accentuer l'anomalie. Si donc l'anneau est solide il doit présenter des irrégularités ; Laplace ne chercha pas à déterminer l'ordre de grandeur de ces irrégularités ; Maxwell a fait le calcul et a reconnu qu'elles doivent être considérables ; ces irrégularités sont inadmissibles.

Equations du mouvement. — Parmi les forces qui sont appliquées a l'anneau il n'y a pas a s'occuper de l'attraction de l'anneau sur lui-même parce que l'anneau étant solide ses diverses parties n'éprouvent pas de déplacement relatif; il n'y a donc à s'occuper que de l'attraction de Saturne et de celle des autres corps célestes ; nous négligerons cette dernière action et nous allons nous occuper seulement de l'attraction de Saturne.

Nous allons supposer que l'anneau a son centre de figure au

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centre O de la planète : l'observation montre qu'il en est ainsi; le centre de gravité G de l'anneau est supposé différent de O. Un point M de l'anneau, puisque l'on ne parle pas de l'attraction de l'anneau sur lui-même, est soumis à l'action de l'attraction de Saturne ; l'ensemble des forces d'attraction fait donc équilibre à la force d'inertie. Un point M de l'anneau est soumis à l'attraction de Saturne et à la force centrifuge : si l'anneau conserve son centre de figure au même point cette force centrifuge et cette attraction sont constantes : M tournera alors avec une vitesse égale à celle d'un satellite placé à la même distance ; c'est la condition nécessaire et suffisante de l'équilibre. Si l''anneau est homogène, cette condition n'est pas nécessaire, car la vitesse de rotation peut être quelconque : chacun des points de l'anneau serait soumis à la même force, et l'équilibre aurait lieu quelle que soit la vitesse de rotation. Dans le cas général le centre de gravité G décrira donc d'un mouvement uniforme une circonférence autour de Saturne.

Prenons comme unité de longueur le rayon de l'anneau, comme unité de masse la masse de l'anneau ; son moment d'inertie par rapport au centre de figure sera égal à i . Il reste à déterminer Tunité de temps : on peut la prendre de façon que, en désignant par M la masse de Saturne et par /*le coefficient de la gravitation, on ait /'M= i.

Etudions le mouvement : soient x e\ y les coordonnées du centre de gravité, nous avons

coss.rfs,

en appelant p la densité de l'élément linéaire de l'arc ds de Tanneau supposé étroit.

est la masse de l'anneau.

Les équations du mouvement du centre de gravité sont

ods =

p cos s ds

d'où

de

d^y di'

Les intégrales de ces équations sont, en prenant une origine, des temps convenable,

r ^ = a cos ^, / y = P sin t.

Le point G décrit donc une ellipse dans le cas général ; si c'est une circonférence, elle est décrite avec une vitesse angulaire égale à Tunité : c'est la vitesse d'un satellite placé à l'unité de distance et décrivant un cercle et dans ce cas, a = p.

Stabilité du mouvement, — Il reste a voir si ce mouvement est stable. Supposant négligeable, par rapport h la masse de Saturne, la masse de l'anneau, nous pouvons supposer Saturne fixe.

Par son centre O, faisons passer deux axes fixes OX et OY (fig. 33) ; par le centre de figure de l'anneau, faisons passer deux axes ox^ oy invariablement liés à l'anneau, leur position, et par suite celle de l'anneau, sera déterminée, si l'on se donne les coordonnées a; et y de par rapport à xoy^ et l'angle de l'axe ox avec OX.

Soit G le centre de gravité de l'anneau, qu'on peut supposer

Fig. 33.

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sur ojT ; on a ôG = a, c'est une donnée du problème ; les coordonnées X et Y du centre de gravité sont

X = -4-y sinO + (a — jr) cos 9, Y :=: — y cos + (a — x) sin 9.

La force vive de Tanneau est égale à la forcé vive de trans-

lation (X'^ + Y'^) augmentée de la force vive de rotation W^.

Le moment d'inertie par rapport au point o est donné par la

relation I = J + a^. La force vive est donc une fonction de x, y, 9

et de leurs dérivées et on a

L'énergie potentielle est