U =— /MV
V désignant le potentiel de l'attraction de l'anneau au centre de gravité, et comme on a
on a
Supposons que la densité de l'anneau soit une fonction développable en série de Fourier. Si di^ est l'angle sous lequel on voit du centre de l'anneau un élément linéaire, on aura, en appelant p la densité au point déterminé par l'angle ^,
P==?o| ' + ^aGos^-\ — ^ cos 24^ + -^ sin 2y + ... I;
si \ et 7| sont les coordonnées d'un point de l'anneau par rapport aux axes mobiles, on a
prjrfs=o,
p(~$^ + ri^)<fc =
On trouve encore
2ic
p^Tj rfs = I psîn2^rf^ = -^.
Le potentiel en G de l'attraction de Saturne sur l'anneau est, comme on le voit en effectuant le calcul,
/pds
Les équations de Lagrange donnent
rf /dT\ dT ÔU
\àf/)
dt \ àf/ ] ^q àq
mais comme U ne dépend pas de q' on a
d d(T — U) d(T — U) dt ^q' àq
On peut écrire
T-u= Ae--+^BQ'+c +v,
où l'on a posé pour abréger
PoiNCARÉ. — Figures d'équilibre. i'^
1 78 ANNE A U DE SA TURNE
remarquons que T — U ne dépend pas de 9 ; la première des équations de Lagrange donne donc :
£r d(T — U) dt
et, comme U ne dépend pas de 6, il reste
dH
p étant une constante. Il est d'ailleurs facile de calculer cette constante, étant données les conditions initiales ; si on développe l'équation on a
Supposons j;,:=:o, y, = o, et par suite x\ et y', très petits, on trouve
et par suite p = ^'^\ donc c'est la vitesse de l'anneau, supposé en équilibre : on a, comme on l'a démontré plus haut, ^'q= i ; donc p=i : l'équation obtenue est Téquation des aires.
Transformons maintenant les équations de Lagrange : posons
Les équations de Lagrange conserveront la même forme, si on y remplace T — U par H ; car, si q est l'une des variables, on a
ÔH d(T — U) ôT W W
dq dq * dO' àq ' dq '
et, comme on a
ôT .
on conclut :
ÔH d(T— U) d^^ dq
De même on voit que Ton a
ÔII ()(T — U) ^(f ~ àr/
On peut faire disparaître 6' de ces équations, on n'a en effet qu'à remplacer 8' par
et comme, ni T ni U ne contiennent 9, II ne sera plus fonction que des deux variables x et y, et de leurs dérivées. On trouve
Supposons maintenant que le centre de l'anneau soit très près de Saturne, c'est-à-dire supposons :r et y petits, et voyons si dans le mouvement ultérieur a: et y resteront petits.
Les termes de degré zéro qui entrent dans II peuvent être négligés, car ils n'interviennent pas dans les équations de Lagrange. Les termes du premier degré en x et y doivent disparaître d'eux-mêmes : en effet, dans les équations de Lagrange ils donneraient des termes constants^ et ces équations doivent admettre la solution x = o^ !/ = o. Quant aux termes du premier degré en a/ et y^ ils disparaissent dans les équations de Lagrange. Il ne reste donc que les termes du second degré, que nous appellerons W, le reste étant négligeable.
Développons H, en ne conservant que les termes du second degré ; on trouve pour W le développement suivant :
Ex* H- aCxy + Fy " + — + ' ~^ y'^ ^,r'y +{i — sa') xy'
en posant
i8o ANNEAU DE SATURNE
Les équations de Lagrange, comme on l'a remarqué, peuvent se réduire à
d ôW ôW dt àx' dx '
rf dW ôW dt dy' ôy '
c'est-à-dire
x" — 2 (i — a^)y=2E^ + 2 Cy, (, «2)y/+ 2 (i — a')y= 2C^+2Fy.
Ce sont deux équations linéaires a coefficients constants ; pour intégrer on pose
On aura quatre valeurs possibles de w, et l'équation générale du mouvement sera
les l et les /ti étant des constantes quelconques déterminées parles conditions initiales. Pour que le mouvement soit stable, quelles que soient ces conditions, il faut que les valeurs de w soient à partie réelle négative ou nulle.
Pour déterminer w, on remplace a; et ^ dans les équations différentielles et on a
— lo^jc — 2(1 — a^)ia>2/^= 2 Ea7,+ 2 C^, — (i — a^)a>^y^+2(i — a^)((i)jr = 2Cjr+2F^,
on peut éliminer ^ et y entre ces deux équations, et on trouve
L'équation en o)^ doit avoir ses racines réelles : car si elles étaient imaginaires, les racines carrées de ces deux racines ne
POTENTIEL D'UNE CIRCONFERENCE HOMOGENE i8r
seraient pas des imaginaires pures, et par suite, comme elles sont égales et de signes contraires, Tune serait a partie réelle positive.
Or, pour un anneau homogène, oii
a = a= p = o, l'équation se réduit à
les racines en sont imaginaires : si a, a, ^ sont voisins de zéro, elles seront encore imaginaires. Il faut donc que a, a et ^ soient grands, il y aurait donc de grandes irrégularités dans Tanneau : et sa régularité apparente serait inexplicable.
Maxwell a fait le calcul dans l'hypothèse où l'anneau serait homogène, sauf en un point, où il y aurait une masse supplémentaire : et il a trouvé que cette niasse devrait être au moins
les -^ de la masse totale de Tanneau, c'est-à-dire que l'on aurait
M. Radau a examiné le cas où l'épaisseur de l'anneau serait variable d'un point à un autre, et il a trouvé que la densité devrait varier de 2,7 à o,o4, ce qui ne paraît pas probable.
De plus, la section de l'anneau étant mince, il lui faudrait une grande résistance pour résister à l'attraction des satellites : Hirn a calculé qu'il lui faudrait une résistance mille fois supérieure a celle de l'acier : donc Vanneau de Saturne n^est pas solide, ' . '
