COS
mais on a aussi
27iv/oZ
cos
2tli
Q étant le point de la circonférence dont la projection sur le diamètre AB est en F, ^ étant l'angle AOM ; on a donc
? {a, b) = 'f (OA, QP)
POTENTIEL D'UNE CIRCONFÉRENCE HOMOGENE iSJ
Si donc on forme une série de quantités
telles que Ton ait
on aura
V = Mf(a„,è„),
et cela quel que soit l'entier n. On démontre facilement que a„ et bj^ tendent vers une même limite qu'on appelle la moyenne arithmético-géométrique de a et de b.
Soit m cette limite, on a
271 1/ m'^ cos^ — -|- m'^ sin
îp (<2, i) est une fonction homogène de a et de i, de degré — i , c'est-à-dire que Ton a
'^ [la, Ib) = > ~ * '^ (a, i) ;
on peut donc écrire
et, remplaçant cp (a, i) par cp (a), on a
?(«.i)=rf(y)
Que devient la formule si P est rapproché de la circonférence? a est alors une quantité très petite. On sait que Ton a, en dési gnant par L le logarithme népérien
i84 ANNEAU DE SATURNE
p désignant la distance du point P au point P^ le plus voisin du cercle, e étant une quantité tendant vers zéro avec p, jjl^ et K étant des constantes ne dépendant pas de la position du point P par rapport à P^ non plus que de la position du point P^ sur le cercle. En reprenant les notations précédentes on a
et comme
M 2irjA,R,
on a
M kR o
b diffère peu de 2R, à l'ordre d'approximation adoptée ; on a d'ailleurs
Cette relation permet de calculer la constante K : on a en efiet
,K*,=,(v/S:îi±^) = ^,(^);
si on fait i = i on a
?W = TT^?(TfT)-
11 vient donc dans le cas qui nous occupe, en négligeant a devant l'unité
mais on a aussi
donc
LK — La = 2 LK — 2 log 2 — La ;
d'où on conclut
MASSE ANNULAIRE DE REVOLUTION i8 =
LK = 2 La,
et finalement
avec Tapproxiination donnée.
On peut chercher une forme plus exacte pour f [a). Posons
?(«) = -^ log— ["i + A.a + AX-l- --J en se servant de la relation
on trouve facilement que Ton a
de façon que Ton peut prendre pour f (a) la fonction
B,= ^La,
et cela en négligeant seulement les termes ea — r^ .
Masse annulaire de révolution. — Soit G le centre de gravité de la section méridienne, menons Gy parallèle à Taxe de révolution et Gj7 dans le plan méridien, perpendiculaire a G/y et tel que le sens positif soit dirigé de Taxe de révolution vers le point G, soit l la distance du point G à cet axe de révolution. Un élément de surface rfd' de la section méridienne, de densité p' et de coordonnées x' et y' engendre un anneau dont la niasse est
i86 ANNEAU DE SATURNE
Cherchons le potentiel de cet anneau en un point P du plan méridien, dont les coordonnées soient a: et y ; il faut d*abord calculer les quantités a et b. Si on suppose le point P du même côté de Taxe de révolution que l'élément rfo-, on a
a=v /(x-xO'Hr(y-;y)S
Supposons l'anneau mince et le point P situé près de G, de façon que ^, y, x\ y' soient négligeables devant l; a est une quantité du même ordre ; on peut prendre pour valeur approchée de b
car [y — y'y est négligeable ; il faut maintenant calculer îp (a, b). On a
il -\-x-\-x' a
Le potentiel en P est donc
on a
il-\-x-\-x'
comme par hypothèse x et ^' sont petits, on peut écrire approximativement
Il vient ensuite
MASSE AyyCLAlRE DE RÉrOLCTiOy 187
ce qai peut s'écrire, avec le de^é d'approximation donné
on peut alors écrire aussi
Le potentiel de Tanneau sera donc
les autres termes étant négligeables, et les intégrales étant étendues à la surface de la section. Nous allons supposer Tanneau homogène et nous écrirons p' = i.
Les deux premiers termes sont des potentiels logarithmiques qui jouent, dans Tattraction des masses planes^ le même rôle que le potentiel newtonien dans l'attraction des corps célestes ; les propriétés du potentiel logarithmique dans le plan sont anulo* gués à celles du potentiel newtonien dans Tespace : on démontre, par exemple, que le potentiel logarithmique d'un cercle homogène est le même que si toute sa masse était concentrée au centre.
Si le point P est à la surface d'un tore, à une distance a^ du centre du cercle générateur, il suffit de considérer le potentiel logarithmique en P du cercle de rayon a^ ; sa surface est tî^iJ, Son potentiel est donc
TZûa Li 1
la première intégrale est par suite
HTzal L
La seconde est la somme de deux autres :
a fia
1 88 AN NE A V DE SA TURNE
dont la seconde se calcule immédiatement, on trouve pour sa
valeur
X 2 T 8^ -y- TtaJ L ;
la première va se calculer plus tard.
On tro.uve de même
puisque le centre de gravité est à l'origine des coordonnées. Il reste à calculer
/x' , SI ,
nous allons employer un procédé de calcul dont nous nous sommes déjà servi dans une autre question : supposons que la densité du cercle soit
al x"+y'^
le potentiel sera
la densité ne dépendant que de la distance au centre, le potentiel logarithmique du cercle est le même que si toute la masse est concentrée au centre. Cette masse est facile a calculer, c'est :
