MASSE ANNULAIRE DE RÉVOLUTION
«aj
Le potentiel est donc, en un point A, situé à une distance a^ du centre du cercle a^ > a^,
Supposons que le cercle C se déplace d'une quantité e parallèlement à l'axe des x, de façon à occuper la position C^; le potentiel en A sera (fig. 36)
la différence de potentiel sera donc
OU
ÔJ; Fig. 36.
Nous allons étudier d'où provient cette différence : en un point de l'intérieur du cercle la densité était p', elle est devenue
Dans la région du cercle C extérieure au cercle C, la densité était nulle, elle est devenue égale à p' qui est petit puisque la densité p' est nulle sur la circonférence du cercle C, et l'aire de la région considérée est de l'ordre de e. Il y a encore à considérer l'aire égale à la précédente, intérieure au cercle C et extérieure au cercle C, la variation de densité en sens contraire de la précédente est 'aussi de Tordre de e au plus, puisqu'on un point de cette aire la densité p', petite sur le bord du cercle, est devenue nulle.
La variation de potentiel due à ces deux aires est donc négligeable, et on a
£ — = — A -^ L — da'.
igo ANNEAU DE SATURNE
Or
il vient donc, en supprimant le facteur e,
,T 8/ ,, dU
a dx
L'intégrale que nous voulons calculer est donc, au facteur Z près,
^ dU dU 1 1» • .
égale a -^ — ; or — — est la composante de 1 attraction suivant
Ox ; cette attraction est , sa composante suivant Ox est — 5- .
On a donc
x' 81 j Tza^x
la ^l a^
et, si on suppose le point situé sur la surface du tore, c'est-à-dire si l'on a a^ = a^^ il vient pour la valeur de l'intégrale
Tzai
On a donc pour le potentiel en un point de la surface du tore = 7.Tzal L r ira; L [- -77- izal,
a} en négligeant les quantités de l'ordre de —^ •
Section méridienne de l'anneau. — Si Ton appelle M la masse de Saturne, to la vitesse de rotation de l'anneau, une condition nécessaire de l'équilibre est que, à la surface du
tore, la fonction U -j soit une constante, U représentant
le potentiel de l'anneau sur lui-même augmenté du potentiel de
