SECTION MÉRIDIENNE DE VANNEAU
Saturne, ce dernier peut être représenté, avec l'approximation
employée, par— y— et Ton doit avoir à la surface de l'anneau :
En posant
W=l^ + llX',
la distance d'un point de la surface au centre du tore est
ce qui, avec
l'approximation que l'on cherche,
peut s'écrire
d'où
enfin on a
La condition d'équilibre peut s'écrire
5ar
■Kal
il faut donc que le coefficient de x soit nul, ce qui donne
5Tzal iraS , 8/ M
41 lai
Celte équation donne w'^, aux quantités du deuxième ordre
près.
^2 Comme -j- est aussi petit, on a
ANNEAU DE SATURNE
La vitesse de rotation d'un tore engendré par un cercle, de rayon suffîsamment petit par rapport à sa distance de Saturne, est donc la même que celle d'un satellite placé à la même distance. S'il n'y a pas de corps central, M = o : on voit alors qu'en l'absence de corps central il peut y avoir une figure annulaire
d'équilibre : a^ est alors très petit, mais le rapport tend vers
l'infini quand a^ tend vers zéro, car L — augmente alors
indéfiniment.
Si on voulait pousser plus loin l'approximation, il faudrait calculer les termes de la forme de
et
x""' y" Tx""' tj""
Supposons maintenant que le tore ait une section elliptique ; nous devons alors calculer le potentiel logarithmique d'une ellipse. Or le potentiel new^tonien d'une droite indéfinie en un point, est le potentiel logarithmique en ce point de la projection du point sur la droite ; il en résulte que le potentiel logarithmique d'une ellipse en un point de son plan est le potentiel new^tonien d'un cylindre long par rapport a sa section droite, i en un point situé à une petite distance de sa surface. On est donc amené à calculer le potentiel d'un ellipsoïde très allongé pour lequel on supposerait c^ infini.
Le potentiel intérieur est donc une fonction du second degré
Y==Ax^ + By'
dont les coefficients sont faciles à calculer (page i4o)- Pour le potentiel extérieur on a
V = A,+ A,x + A,x' + Ay + .. .
HYPOTHÈSE DE CASSLM iy3
On peut calculer A^, A^, A^ comme on Ta fait précédemment, mais les intégrales devront être étendues à la surface d'une ellipse dont l'équation est
Lcs quantités du troisième ordre sont négligeables. La fonction de force peut de même se développer en série de la forme
La condition d'équilibre est que l'on ait
à la surface de l'ellipse ; il faut donc que l'on ait
Laplace avait fait le calcul, et a discuté l'équation mais sans tenir compte des termes en A^ et A3.
M'"® de Kowalewski a été plus loin et a fait voir que la section méridienne du tore n'était pas symétrique par rapport à Taxe des y.
Nous étudierons plus tard la question de la stabilité ; nous allons d'abord discuter Thypothèse de Cassini.
HYPOTHESE J>E CASSIXI
Vraisemblance de rbypotbèse- — Cette hypothèse est la seule compatible avec les travaux de Maxwell sur l'anneau de Saturne. L'observation confirme cette hypothèse, car l'anneau est transparent et la lumière le traverse sans trace de réfraction ; il faut donc supposer qu'il est composé de corpuscules solides (ou liquides), isolées les unes des autres. Les observations spectroscopiques montrent d'ailleurs que la vitesse d'une molécule de l'anneau n'est pas la même sur le bord interne, ou sur le bord externe.
PoixcARÉ. — Figures d'équilibre. i3
tr^l A SSEA V b£ <ATf R\£
Equations du mouvement — Noas allons commencer par ^tudi'rr un vu^ trêâ simple : nous allons considérer p satellites Je m^me masse ;x, équidîstants sur un cercle : la distance
de deux «afellîtes sur ce cercle sera — ^ = \th; le rapport -7-
n'est pas infiniment grand.
l'n mouvement possible du svst^me est celui où chaque satellite parcourrait le cercle d'un mouvement uniforme, avec une vitesse u»^ déterminée par l'attraction de la planrte, augmentée d*un U;T%u(i où il faudrait tenir compte de la masse des autres satellites; et nous allons chercher s'il va un mouvement peu différent de celui-là.
Soit M4 le satellite de rang /•, son rayon vecteur sera i -J- S;, son angle polaire sera tôt -\- '^hh -f- 7/ : dans le mouvement non troublé on aurait
si le mouvement est stable Zf^ doit rester petit.
I.a force vive T, et la fonction de forces U, sont fonctions de Zj. et de or^; les équations de Lagrange donnent
dt
d / ôT \ 4]iï m
fri posant
