ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

La force vive du système est

et, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre : La fonction de forces est

R représentant la partie complémentaire du potentiel due h l'attraction des satellites les uns sur les autres ; si l'on pose :

on a

Aj 2sin4; I 2 4 8 " '

les termes non écrits étant négligeables. On peut écrire aussi

Les termes les plus importants de R sont évidemment ceux pour lesquels 4* est petit, sîn à étant un infiniment petit du premier ordre, — . ^, est un infiniment errand du second, et . ",

sm ^ ^ sm ^

est un infiniment grand du troisième.

U et T comme on le voit ne dépendent pas de ty et sont du second

degré par rapporta p,? ,^ et o* ; — — , , ' sont du premier

#K:gr'; par rapport ii ces quantitr?^ ; enfin —^ — ( — r— )est dupremi^îr A*iyijh u\'f:e rl^5 dérivées du second ordre. Les équations de La^rang^ sont donc des équations ici coetïicients constants de la forrnf!

A étant finrr constante, et B étant une Tonction linéaire des ar^ruments; mais ces équations doivent admettre la solution p = a' = o; il faut donc que A disparaisse de lui-même; les équations sont alors des équations linéaires et homogènes, qui s'intègrent par les exponentielles, et on a.

ae"

les A étant des racines d*équations algébriques, et les a étant des c.r»ristantes.

Le nionvcnieiit sera stable si p ne croit pas au delà de toute limite ; en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de A, on a

le mouvemeiil sera stable si A^ est négatif ou nul ; mais si nous démontrons <[ue ré([uation en A a ses racines deux à deux égales et (l(^ signes contraires, nous verrons que )v,,ne peut être que nul. Or si nous cliangoons l en — t les équations ne changent pas, puis(|ue les termes du second ordre seuls interviennent dans les é(|ualionH de Lagrange ; il en résulte que si l'équation en A admet une racine, elle admettra aussi la racine de signe contraire, et par suite, la condition nécessaire de la stabilité de ré([uilibre, est que les racines de l'équation en X soient purement imaginaires. La condition est d'ailleurs évidemment suffisante puis([ue, dans ces conditions, p s'exprime par des fonctions trigonométri(pies de la variable réelle t.

Vous avons y,/> é([uations du second ordre, donc ). satisfait à une équation algébrique d'ordre 4/^; c'est une équation en A*, de degré 'jp dont toutes les racines sont réelles et négatives.