OR

4 ^ sinA ^

^ prend les valeurs Q, 26, 30, ,.., (/; — i) 0. Dans le cas ou [ji=o on aurait (o^= i.

Les équations sont donc

■ÎA aW?/. = .'A

Changement de variables. — Faisons le changement de variables,

KjS AyyEAC DE SATCRyE

On a par exemple

Posons de même

Les Ç., d'une part et les r^^ de l'autre sont deux à deux imaginaires conjuguées; d'une façon plus précise je dis que E. et i^., sont imaginaires conjuguées. En effet, on peut écrire

^k — / Çp.,e / .' — / ^p-.e

Cette seconde valeur de p/^ se déduit de la première en changeant i en — i et Ç.. en Ep— .: il faut donc que Çp y se déduise de E., par le changement de / en — i; donc Ç^ et $p.. sont imaginaires conjugués. On démontrerait de môme que r,., et T,p., sont imaginaires conjugués. Si p est pair, Ç^ est réel, car il est à lui-même

son imaginaire conjugue.

(j \ 2 ' ^ j sera un polynôme du second degré en ;^., qui ne renfermera d'ailleurs que les termes de la forme ^'.^ ip-v. Kn effet, T et R sont symétriques par rapport aux pf^ et aux o*^; si Ton permute circulairement les p^ d'une part et les o-/,. d'autre part, c^està-dire si l'on remplace ^.. par ^.. e-'':\ ^^ est multiplié par le même facteur.

De même pour yi^ et r/.^ . Par ce changement ni T ni R ne doivent être modifiés : il faut donc qu'un terme ^'^ Ç'.^/ se transforme en lui-même ; donc il faut que le changement de variable multiplie ce facteur par e-''*^' ; il faut donc que

21 (y -f- v') == 2ih/j ; -

donc

CUANGEMENT DE VARIABLES 199

En appliquant toujours le môme raisonnement, on voit qu'en définitive ï et II ne doivent contenir que des termes de la forme

\ ^P- Y ^-l 'iP— i

Ç; %p - Y Ç; '/ip — y

Si maintenant on regarde de plus près la formation de la fonction II, on voit que Ton peut poser

II^II,+ IÏ,+ ... + IÏ^ + ...+ II,,

en écrivant IL, à la place de

\'.. l'p ,+9.(0 (;, y/^, ,+ Ip ,r/,) -f- o>^;, Ip ,+7/, 7/^, ,+ a^^Sp , + [x j^L.^.^^^.+ M, (;,7,p^,+7,,;^,,) + ^^r,,7,p, j.

L, M, N sont donnés par les formules

VI / sin-y^ cos^'!^ cos-y} \

' jiij\ 4si"'^ s>- sin '{^ /'

^'f'i cos ij;

\j VI sin ayo co

^, , sin-y^]; cos" tjy sîn-y^

2 sin *A 4 siu i

Les équations de Lagvange seront alors

d /DII,\ DH