OU , \ OH
dt
et ou aura en supprimant les indices
i" — l (to- + 2) — 2(.)r,'= [x [14 + M/i],
r/'+20)=' =ui[M$ + Nr,].
L'équation en "k est
().^ 0,^ 2 — 1-ui) (À-^ + Nu) — ([A-M- — 4o>-).-) == o.
200 ANNEAU DE SATURNE
Discussion des équations. — Quel que soit y, les racines de cette équation en X^ doivent être réelles et négatives ; on voit que cette condition sera remplie si [x est suffisamment petit ;
Maxwell a démontré qu'il fallait que Ton eût [jl < — ^ — . Dans
ces conditions [jl/j tend vers zéro quand/; augmente indéfiniment; c'est la une difficulté, car la masse de l'anneau précisément égale à ^p^ serait négligeable ; mais cette difficulté disparait d'ellemême si on suppose les satellites répartis non sur une circonférence, mais dans un certain volume.
Si les racines de l'équation en )."^ sont négatives, on pourra poser
n étant une quantité réelle, et en prenant
on aura
On aura une solution particulière si à Ç„ r,.. on ajoute les solutions,
•/io = o.
et on aura alors une solution particulière pour les p^^ en posant
à cette solution on peut ajouter la solution imaginaire conjuguée; on obtiendra ainsi des solutions de la forme
pA:=AoCOs(/l^ + cp+2A'vQ), ' (7A:= Bq COS (lit + 'f + 2kyh),
Si on suppose un système d'axes entraînés constamment avec le satellite M;^ dans son mouvement non troublé, et tel que l'un d'eux
DISCUSSIOy DES Kqi'AriOSS 201
coïncide avec le rayon OM^, ^j. et or^ seront les coordonnées du satellite, par rapport à ces axes, et on voit que le satellite décrit par rapport à eux une petite ellipse.
On passe de la trajectoire d'un satellite à celle du suivant en changeant k en A: -}- i ; le second satellite est donc en retard sur le premier, et ainsi de suite; il y a ce que Ton appelle un décalage égal à yO. Si Ayô est un multiple de 9.7: le satellite de rang A H- I sera dans la même position que le premier satellite; celui du rang A* + 2 dans la même position que le second et ainsi de suite.
Le mouvement sera comme s'il se transmettait d'un satellite 11 l'autre avec un certain retard; on peut aussi dire que le mouvement se transmet comme une onde, dont la longueur serait .
Les ondes qui sont les plus dangereuses pour la stabilité
sont les ondes courtes; les ondes qui compromettent le plus la stabilité sont donc celles qui correspondent aux grandes valeurs de y. Considérons en effet une valeur de n, suffisamment grande; pour une grande valeur de y> l'onde serait très courte, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d'une manière sensible, et leur action mutuelle ne serait plus négligeable par rapport à l'action de Saturne.
La masse totale [xp doit être inférieure à -^; si on suppose
p= 100, on voit que la masse de l'anneau devra être inférieure à
^ , c'est un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais
c'est un inconvénient artificiel, car Thypothèse que nous avons faite est trop simple et il faut supposer une distribution de satellites occupant un certain volume de l'espace.
La perturbation apportée au mouvement d'un satellite par l'ac-
tion d'un autre est de l'ordre de i..^ , en appelant la distance
des satellites.
Si les satellites sont répartis sur une circonférence de
longueur /, on a 0= — : le mouvement sera stable si la perturbation a une valeur moindre qu'un nombre donné A. Dans
2 >a A.yXEAV DE SATVR.SE
rhypolhèse de satellites répartis sur une circonférence, il laut donc que l'on ait '
ou bien
Af
i ^ ri P
Si les satellites sont répartis sur une couronne comprise entre deux cercles de distance comparable h la longueur de l'un deux, le nombre des satellites sera comparable à jr. S'ils sont dans un anneau de volume fini, leur nombre sera comparable à y/, la masse de l'anneau sera égale à ^p^ et la condition de stabilité sera que Ton ait
la masse de l'anneau devra donc être inférieure à un nombre qui ne dépend pas du nombre des satellites.
Stabilité de l'anneau supposé liquide. — Nous allons maintenant, d'après Maxwell, examiner de plus près la stabilité du mouvement, dans le cas où l'on suppose l'anneau, soit fluide, soit composé de corpuscules indépendants. Dans cette partie du travail de Maxwell, les raisonnements ne sont pas tout à fait rigoureux, ni même très clairs, mais on doit en accepter la conclusion; il est probable qu'un calcul rigoureux conduirait à des résultats peu différents de ceux auxquels nous arriverons.
Soient .r, y, z les coordonnées d'un point dans le mouvement normal; //, r, (v, les composantes de sa vitesse ;
l^ dr, . r/r
"+rfr' ^'+^' "+7r'
les mêmes éléments dans le mouvement troublé, l.a force vive du svstème est
STAIUUTÈ DE LWyyEAU SUPPOSÉ LIQUIDE ^oZ
rénergle potentielle — U est égale h
eu appelant V et p le potentiel et la densité dans le mouvement normal, V + V, f + p', ce que deviennent ces quantités dans le mouvement troublé. V est une somme de quatre intégrales :
La première intégrale est une constante ne dépendant pas de ^, Y,, ^; la seconde et la troisième sont égales, comme on Ta vu au commencement du cours. Elles représentent la moitié de Ténergie potentielle due à l'attraction de la matière répartie, comme dans le mouvement normal, sur l'excès de matière qu'il y a en cluujue point dans le mouvement troublé.
On peut poser en négligeant le cube de ;, y», Î^,
(\r dtj i)z
La somme do la seconde et de la troisième intégrale peut donc
s cerne
od'z.
di/dz I '
Il faut maintenant calculer la dernière intégrale; je peux supposer que le déplacement ^, y,, i^ est la somme de deux déplacements, l'un dans le sens de la propagation de ce mouvement, l'autre transversalement \\ ce sens : on posera ainsi :
'fi - '^.i4-'^,,
aoi AyyEAl' DK SATl/tyiL
Ou sait (railleurs, d'après les formules connues des vibrations longitudinales et transversales que
est une difFérentielle exacte et que Ton a
(l.r (fj/ (fz
On a d'ailleurs la relation
, a SC; il 07. ' fi Z^
' d.v ajf (fz
Dans ces conditions on peut écrire
YoWt-::— / ov/t r.+y.-. + rV-
Prenons maintenant des axes mobiles tournant avec une vitesse co autour de Taxe de Tanneau, Texpression de V ne change pas. ï devient dans ces conditions
La condition d'équilibie est que
rr—vuii
soit maximum; si Ton tient compte de la relation
COyCLlSION 205
on trouve les éqiuitions
.1P dO
P est un polynôme du second degré en (;, '/i, î^}, 8 est une variable auxiliaire liée aux trois premières par la relation.
O.r 0// Oc
Conclusion. — Maxwell est arrivé au résultat suivant : pour
(fue l'équilibre soit stable, on doit avoir : ?<—, — . * ^ ^ ooo
Ce résultat est vrai pour un amas de poussières cosmiques comme pour un anneau liquide ; mais il y a une condition de plus pour un anneau liquide : la pression à la surface doit être dirigée vers l'intérieur ; or, Laplace a trouvé pour l'anneau à section
elliptique que la densité doit être supérieure à --, pour l'anneau
extérieur et à 2 pour l'anneau intérieur.
On peut alors se demander s'il y a d'autres figures d'équilibre. Rappelons que l'on a trouvé qu'il fallait que
to" < 27:0.
Dans cette formule, co doit être pris égal à la vitesse angulaire d'un satellite dont l'orbite coïnciderait avec l'anneau. On a donc, en désignant par M la masse de Saturne et par L le rayon de l'anneau.
.. M Si p, est la densité de Saturne, R son rayon, on a
ao6 AyMKAl' DE SAlinyK
On trouve donc
Le second membre est supérieur à — ;- : si on rapproche ce ré-
ib
sultat du résultat précédent, on voit que ranneau de Saturne ne peut être liquide. On a d'ailleurs vu plus haut que les observations montraient qu'il était probablement composé d'une masse de petits corpuscules.
