AV
^=ir/[(^)'-(^)'+(^)"J-
-r — désignant la dérivée suivant la normale a la surface équlpotentielle passant par le point (.r, y, ^),
Déformons le conducteur de façon que l'élément de surface
(h devienne da' (fig. 4). Appelons ^ la projection sur la normale à la surface du déplacement rfo- compté avec son signe.
L'augmentation du volume est alors
l'ij?. -..
L'augmentation de l'intégrale est
- m^ïA^y^m.
X,ch
Ceci suppose (jue le potentiel reste constant; mais, par hypothèse, la figure est en équilibre. Donc il y a un minimum pour
THÉORIE DE LIAPOUNOFF .21
— - ; la variation de l'intégrale due à la variation du potentiel
est donc nulle, puisque cette intégrale est minimum. Or, si on appelle [à la densité superficielle, on a
On a donc
= 4^ I ;x-Çrf7.
Or, il faut que dC=o \ donc
et comme on doit avoir en même temps /ÇrfT = o, quel que
soit !^, il faut que l'on ait [à = C''',
On a d'ailleurs M = uiS en appelant S la surface du conducteur : on a donc
Supposons maintenant que le conducteur se déforme en restant semblable à lui-même : la capacité est proportionnelle à la racine cubique du volume, et on a
d'où on conclut
dC
îTC.
Tous les corps dont la capacité est minimum sont donc tels
aa MASSE HOMOGENE FLUIDE
que cette relation existe entre leur capacité, leur volume et leur surface.
Mais alors, pour tous les corps de même volume, la capacité est minimum si la surface est minimum ; or, parmi tous les corps de même volume, la sphère est celui qui a la surface minimum. C'est donc celui dont la capacité électrostatique est minimum.
Nous arrivons maintenant au théorème que nous nous étions proposé de démontrer,
La sphère est la seule ûgare d'équilibre. — Je dis que W est maximum quand le corps de volume T a la forme d'une sphère.
Soit T le volume correspondant, donnons-lui un accroissement (fîg. 4)
Comme on a
dW= I î^l±^^d.
V dp dz.
Le corps étant supposé de densité égale à i, dp est égala — i, o ou I ; dp n'est différent de zéro que dans le voisinage de la surface, qui est une surface équîpotentielle, le corps étant supposé en équilibre ; c'est-h-dire que V est constant.
rfW=V, / dpdx
LA SPHÈRE EST LA SEULE FIGURE D'ÉQUILIBRE xà3
Ci rintégrale est égale à dT, On a donc
On peut établir une autre relation entre rfW et dT. Supposons que le corps varie en restant semblable à lui-même :
l'énergie varie en restant proportionnelle à la puissance -"- du
volume. On a donc
^W __5 dl
Eliminant (ifW et dT entre ces deux dernières relations, oi»
trouve
