ao.6oc: = .a&oc

où a , & , c sont des propositions. Supposons que a contienne une lettre a? , et 6 et c deux lettres xety. Substituons ax , &«?, y , <^x, y à la place de a , & , c , pour indiquer les lettres qu'elles contiennent. On aura

iu. Ofx Ox . f^Xf y Oy ^x, y • ''^'^ • ^x *^x^ y Ox^ y ^x, y *

Transportons Cx, y dans le premier membre ; on a

Clx Ox . (>x, y ■" (^Xf y =y A T == , (Xx Ox^ y "" C^?, y =aj, y A

ou, si au lieu de hx, y~Cx,y on écrit bx, y , ou en faisant Ca?, y == a , on a

qu'on peut encore écrire

Supprimons ax , c'est-à-dire , posons a^? == v ; et au lieu de hx, y écrÎYonft «x, y ; on a :

4, djc^ ^ " = y A • =0? A I = • dx, y ^^^a7, y A

et en prenant les négations des deux membres :

^- ^Xy y ~ ^^^y A • ~ =a; A \ === • (tx^ y " ^^^^x^ y ■^ •

« Affirmer qu'il y a des x tels qu'il y a des y qui vérifient à la la condition aj^^ y , c'est affirmer qu'il y a des couples de a? , y qui vérifient h la condition ax, y*»

En écliangeant le rôle des lettres a? et y, on déduit

0# fïa;, y ~ ^^^y A • ~ ^=ir A ! = I fla;, y ~ ^^x A • •" = y A •

Si ]a proposition ax contient la seule lettre a? , et la by la seule lettre 2/ ? ou a :

(m Oi-y; t)y " ^=aj, y A • = • ûta; " ^^^^^£C A • Oy ~ ^^y A •

Or btj - ^^y A est équivalent à &a? - ==x a . Donc :

o. Ùr^ Uy " ^^^i», y A • ^= • Clx ■■ =i» A • Ux " =^û7 A •

Prenons les négatives des deux membres :

y» fïaî Uy "^^^x, y A • == • (Zx ^=^x A. • ^j • Ox ^^^x A •

Si l'hypothèse d'une déduction contient des lettres non contenues dans la thèse, on a:

lu» ût^Tc, y O^, y Ox • ^^ • ^i», y ■■ ^^^y A • Ox Ox •

Au lieu de dire « si a? , 2/ satisfont à la condition a , le ^ satisfera à la condition & » on peut dire « si a? est tel qu'il y a des y qui satisfont à ]a ctj alors il satisfera à la 6 >. Cette transformation s'appelle V élimination de y .

Fonctions.

§ 19. En Analyse on représente ordinairement une fonction d'une variable x en écrivant un signe au-devant de x. Ainsi on a les fonctions numériques:

]/ X ^ \o^x , sina?, cosa?, ... Shcc, ... moda?*, ...

D'une façon analogue, nous indiquerons d'autres fonctions. Soit u une K;

numw signifie « le nombre (numerus) des u »,

En conséquence:

num w = . = . 1^ = A

num w f N . = . « le nombre des u est déterminé et fini »

num w = 00 . = . « les i^ sont en nombre infini » .

Soit u une classe de quantités réelles q ; i^ £ K q :

maxt^ signifie « le plus grand (maximum) des u » min u y> « le plus petit (niinimum) des u » .

Quelquefois on doit ordonner les nombres de la classe Uj selon leur grandeur croissante; et on les indique par min^ u , min, u ,...; quelquefois plus simplement par w^ , w^ , ... Si Ton ordonne les mêmes nombres selon leur grandeur décroissante, on les indique par max^ u , max^ u ,... On a min^ u = min u , et max^ u = max u .

La classe w de q peut n'avoir de maximum ou de minimum ; alors on a introduit dans l'Analyse « la limite supérieure des u » indiquée par r w , et « la limite inférieure des u > indiquée par 1^ u .

Soit u une classe de nombres, en nombre fini; on représente leur somme par 2 w , et leur produit par n u.

Soit u une classe de nombres réels, ou complexes d'ordre quelconque. Par la considération des nombres infiniment proches, on a récemment introduit en Analyse un certain nombre de classes qui dépendent de w, et qui jouent maintenant un grand rôle dans les questions les plus difûciles de cette science. Elles sont

Du= « la classe dérivée de u ^ considérée la première fois par M. Cantor.

Cu = u^jDu= « la classe u fermée »

Iu = u-D{~u)= « la classe intérieure à w »

Eu===I{'~u)= « la classe extérieure k u *

Lu = {~Iu) {~E u)= « la classe limite des u »

med u= « la classe formée des nombres moyens entre les u ».

Exemples.