n (N -^ a/N)]* = a°»«» (N r. alN

■ Le carré du produit des nombres diviseurs de a est égal au nombre a élevé à la puissance indiquée par le nombre des nombres diviseurs de et »É

§ 20. Quelquefois on indique une fonction de x en écrivant un signe après x. Ainsi on écrit x ! pour indiquer la factorielle de x . Dans le plus grand nombre des langues on écrit le signe de fonction aprèa la variable, comme ypoL/jLfjiyîç Ttépajcn^ linese extrema, Liniengrenze. Ainsi, en chinois, ji-tseu signifie « du soleil le fils » ou « le jour ».

Si Von écrit les signes de fonctions après la variable, chaque formule contient les opérations dans Tordre même dans lequel on les exécute- les opérations seront indiquées en -ordre inverse, si Ton écrit les sig-nes des opérations en-avant. Ainsi pour calculer log sin j/ a? , on doit de x prendre la racine, du résultat le sin , et du résultat le log. Et pour calculer la limite du rapport de l'accroissement d'une fonction à Taecroissement de la variable (dérivée de la fonction), il faut donner à îa variable un accroissement, calculer l'accroissement de la fonction, former le rapport et passer à la limite.

L'usage commun en Mathématique, c'est de prémettre le signe de l'Opération.

Quelquefois on indique une fonction par une écriture plus compliqaée, comme | a ] (pour mod a) , a* , ...; car on ne peut pas leur appliquer la convention de l'inversion (§ 27). Il est bien, dans les notations nouvellesj d'adopter toujours des suites de signes écrits sur la même ligne; on obtient non-seulement des avantages théoriques, mais une simplicité typographique, qui a son importance.

§ 21* Il faut bien distinguer les noms des classes des noms des opérations. Ainsi les propositions « x est un multiple » « a? est un diviseur » * X est un logarithme » n'ont pas de sens; car multiple, diviseur, logarithme sont des noms de fonctions, et non de classes. Quelquefois on dit « ^ est un sinus » pour indiquer < a? est le sinus de quelque arc », On traduira cette formule par * xs sin q » et non par * x e sin » ; car Bin est une opération, et sin q est une classe, l'intervalle (— 1)^ 1.

Mais dans bien des cas dans le langage commun, le même nom, gelon la position on forme grammaticale, est tantôt le nom d'nne classe, tantôt celui d'une fonction. Par exemple (*) dans le mot allemand Rathhaus (la maison du conseil), Rath (conseil) est le nom d'une classe, ou d'un individu si le conseil est déterminé, et haus (la maison du) est le nom d'une fonction ; et dans le mot Hausrathy Haus est le nom d'une classe, et rath celui d'une fonction. On voit qu'on ne peut pas changer la place des mots Haus et Eath, comme on n'a pas log sin œ = sin log œ ; bien que, si a et h sont des classes, on ait toujours ab = ba.

Dans la phrase « le nombre des nombres diviseurs de 12 est 6 » le mot « nombre » est d'abord le signe d'une fonction, puis celui d'une classe. On la traduit par num (N ^ 12/N) = 6 , en le substituant dans le premier cas par num , dans le second par N .

Mais On pourrait aussi imiter le langage ordinaire, et au lieu de former de nouveaux signes de fonctions, on peut prendre un signe (p, qui a déjà une signification, présentant quelque analogie avec la fonction qu'on désire indiquer, et écrire p^x pour indiquer cette fonction de a?. On peut traduire le signe ' par le mot de. Ce signe indique que ,(p doit être interprété dans une nouvelle signification, qu'il faut expliquer dans chaque cas. Au lieu de p^x on peut écrire a?'p, si l'on désire avoir le signe de. fonction après la variable (**).

Par ex. on peut indiquer par N' u (le nombre des w), ou par u' N (des u le nombre), ce qu'on a déjà indiqué, avec une nçiivelle notation, par num u . Pourtant N représente une classe, et N' c'est un signe d'opération.

Si u est une K de quantités, on pourra indiquer par -f-' u etyi^u (ou par u' H- et u' X) 1^ somme et le 'produit des u , qu'on a déjà indiqués par les notations ^u et Uu,

Si f est un signe d'opération qu'on écrit en-avant de la variable, on peut convenir que x^f indique la même chose que fx ; et si le signe f s'écrit après la variable, on peut convenir que fx soit identique a xf. Ainsi aï' log = log a; , Vx = x\

Mais la seule application qu'on a faite du signe *, c'est la suivante: si u est une classe de classes, c'est-à-dire un ensemble des classes,

o* u indique « la plus petite classe contenant toutes les classes du système w » ou « la somme logique des classes u »

^ ' u indique « la plus grande classe contenue dans toutes les classes du système t^ > ou « le produit logique des classes u ».

(•) C'est l'exemple porté par M. Wundt, Logik, Stuttgard, 1880, pag. 223; mais il en tire des conclusions différentes.

(**) Le signe ' est, à peu près, le signe du génitif anglais.

TPHâL^impiJPMf

Par ex. si utK q, D^ u représente l'ensemble des classes Duy D^u, i>^itj -.; donc ^^ D^ u représente ce qui est commun à toutes les classes dérivées de u. M, Cantor l'appelle classe dérivée d'ordre infini.

Sl u est un faisceau de rayons, ^ ^ u représente son plan, et r^^u son centre (Voir § 31).

Des hypothèses

aab .bec on dédaît

§ 22. On a aussi à considérer des fonctions de deux ou de plusieurs variables. Quelquefois on indique la fonction par un signe entre les deux variables ; ainsi en Algèbre on écrit

a -h b j a — b y a y^h , ajb

pour représenter des fonctions des nombres a et 6 ; et en Logique, si a et b sont des classes, a^b et a^b en désignent des fonctions.

Mais d'ordinaire on considère le couple des objets a et & comme un nouveau objet, qu'on indique par (a,ô); et l'on écrit un signe de fonction f en avant du couple ia,b) , Ainsi dans le Formulaire on a les notations

D (a , 6) = < le plus grand commun diviseur entre a et 6 » m (a , &) = * le plus petit multiple commun de a et de ft » quot (a ,b) = * le quotient de la division de a par b » rest (ajb)^ * le reste » »

mp (6 , a) = * l'exposant de la plus grande puissance de b contenue dans a »,

Exemples :

c* j iî , c £ N > a . D (oc , &c) ••= c D (a , ft) .

* Étant a^b jC des nombres, le plus grand commun diviseur entre ac et bc est égal au plus grand commun diviseur entre a et & , multiplié par c » .

a , & , <3 £ N . D (a , 6) =»= 1 . . D (oc , &c) = c .

« Si a, è , c aont des nombres, et a est premier avec b, alors le plus grand commun diviseur entre a c et 6c est c ».

ex , & Ê N . o /» a ^ N 6 . = : a? £ Np . 0^ . mp (aî , 6) :^ mp (Xyà) ,

* Étant a et b des nombres, affirmer que a est un multiple de b, c'est comme afïïriner que, quel que soit le nombre premier x , la plus grande puissance de x contenue dans b est inférieure ou égale à la plus grande puissance de x contenue dans a ».

Dans quelques cas on peut exprimer une fonction nouvelle de deux variables au moyen d'une fonction connue, et d'une fonction nouvelle d'une seule variable. P. ex. dans les traités d'Arithmétique on déiinit le groupe a/6 comme le quotient de a par h. On peut convenir de représenter par \h le réciproque de 6, et alors a\h indique le prodait de a par le réciproque de h. On a ainsi exprimé la division ^ opération sur deux variables, au moyen de la multiplication, et de la nouvelle opération < le réciproque de » qui est une fonction d'une seule variable.

Signes de fonction, f et j .

§ 23. Comme nous avons déjà dit, pour indiquer une classe qui dépend de a? , on a l'habitude d'écrire un signe au-devant de x , comme

log 0? , sin 0? , mod x , num œ , etc.

Le signe qui précède x indique l'opération qu'il faut faire pour avoir le correspondant de x.

En Analyse, on indique le signe, ou caractéristique de fonction, par une lettre, fy(p,Fyg,hy ...; et on a l'habitude d'écrire entre pareathèses la variable x. Ainsi on écrit f(x) par crainte de le confondre avec le produit fx de f par x (qui n'a pas de sens). Eu suivant cette convention, il faudrait écrire f{{x-^h))y pour ne pas le confondre avec f{x-\-h)j qui a la même forme du produit de f par x -h h. Mais au* cune confusion n'est possible; et dans le Formulaire on a cru bien d'écrire tout simplement /Se, en suivant Lagrange, Abel et bien d'autres, pour indiquer la valeur correspondante de x. Les parenthèses serviront toujours à grouper des symboles, et ainsi on ne trouvera jamais entre parenthèses une lettre seule.

Dans la formule fx pour désigner une fonction de a? , on a à considérer les deux signes /^ et ce , et leur groupement fjs. Le x est la variable indépendante; le f est le signe de la fonction, ou opération, qu'il faut considérer, ou de la correspondance entre x et fx^ ou de la transformation. Le groupe fx représente la valeur de la fonction correspondante à la valeur x de la variable. Dans nos questions nous parlerons toujours du signe d'opération f, et non de la valeur fx\ c'est-à-diré, nous dirons, dans chaque cas, ce que représente la lettre f ^ et non ce que représente le complexe fx , dont la aignification est conséquence des significations de f et de x.

Étant donné un signe h, d'opération, ou de fonction, ou de correspondaace (car ces mots signifient la même chose), il y a à considérer la classe des individus sur lesquels on peut opérer avec le signe 7i, et la classe des individus que l'on obtient comme résultat.

Si a et h sont des classes, pour indiquer a signe d'opération qni étant écrit en-avant d'un a produit un b »j on a proposé ia notation bla {*). 11 en résulte que si £c f a , et si A est un signe qui étant écrit en-aTanr d'un a produit un b^ on aura fxsb. Et comme fx a la même forme que le produit de f par x , il est naturel d'indiquer f par une notation analogue à celle du quotient de b par a» Mais cette notation peut produire des ambiguïtés; et il faut se garder d'adopter les signes d'Algèbre comme signes de Logique, Nous écrirons donc bîa pour « signe de fonctioUj qui étant écrit en-avant d'un a produit nn i * ou < opération qui transforme les a en b ^ ou * correspondance entre les rt et les 6 » ou * b fonction définie dans a > , ou « 6 fbnction des a ». *

Exemples :

Bin^q fq

* le sin est une opération qui, h chaque nombre réel, feit correspondre un nombre réel ».

logaqfQ « log est un signe de fonction réelle définie pour toutes les valeurs positives de la variable »*

mod^Q^fq' < le signe raod établit une correspondance entre les quantités imaginaires et les quantités positives, ou null^ »,

Au lieu de considérer des signes de fonction écrits en-avant de la variable^ on pourrait les écrire toujours après. Nous écrivons aj b pour

* signe de fonction, qui étant écrit après un a produit un & »; ainsi on a:

ïeNjN

* le signe ! écrit après nn Nj produit un N *. Mais nous en ferons bien peu d'usage.

§ 24. Les signes des fonctions satisfont â plusieurs propriétés, que nous examinerons rapidement,

1* ajb£E.*hibîa.x^a^Q.hxeb

* Etant a , b des classes^ si h est une transformation des a en 6 , et si or est un a , alors ^^ est un ô *,

Ainsi ftfqfq signifie « h est le signe d'une fonction réelle définie

{*} Oq a adopté cette noUtiotk stiulemeiit dans les premières partitîH du Formulaire

pour toutes les valeurs réelles de la variable » . Elle est nécessaire uieot à une seule valeur, ou monodrome; car, par la 1, si aîf q, on déduit hxeq. Si h est un signe qui à chaque q fait correspondre plusieurs q , elle est une transformation des q en des classes de q , une (K q) f q,