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-ji

Le'problème des caries consiste à chercher les propriétés générales de la transformation (les fonctions .r et^ de L et / restent indéterminées), et ses propriétés /;f////f;(/à'/e6' quand on spécifie ces fonctions.

Une remarque fondamentale s'impose.

Tant que nous considérons la terre comme sphérique, les pôles ne jouissent d'aucunes propriétés géographiques particulières ; nous pouvons donc les situer où nous voulons pour ïé/iidc géncralc des projections. Naturellement nous les disposons de manière que les formules soient simples. Pour restituer ensuite aux pôles leurs véritables lieux, nous sommes amenés à faire un changement de coordonnées. Les formules reliant la longitude et la latitude aux coordonnées cartésiennes x, y, ou polaires a, /', peuvent donc prendre des formes multiples sans que les propriétés générales de la projection soient modifiées.

Ce qui précède s'applique A\iy. projections dites zénithales. Il existe un parallélisme absolu entre les méridiens et les parallèles définis

à parlir du pôle, et les plans verlicaiix et les parallèles à l'iiorizon [((hiiicantarats définis à partir du zénith. Tout ce que nous établirons donc pour un des s}-stèmes sera vrai pour l'autre. Les formules de la trigonométrie sphérique donnent immédiatement les distances zénithales et les azimuts, à partir des colatitudes et des longitudes, et inversement (voir §§ o5 et 114).

Connaissant .r, y, ou /•, a, en fonction de / et L dans le système polaire, nous calculerons (théoriquement) sans peine ces mêmes quantités dans le système zénithal en fonction de la hauteur h audessous de l'horizon du point pris pour pôle, et de l'azimut A.

Dans la pratique, il ne sera même pas nécessaire de procéder au changement de coordonnées sur les formules (1); il suffira de calculer ]i et A en fonction de l et de L, puis de prendre le zénith pour pôle de la projection.

1'". — Aux parallèles et aux méridiennes de la sphère correspondent sur le plan deux faisceaux de courbes qui le divisent en parallélogrammes élémentaires.

Nous ne tenons pas compte des dimensions vraies; il nous sera toujours loisible de remplacer la carte plane par une figure semblable grandie ou diminuée à notre gré.

Les fonctions : .r = .r(Z, L), y = i/[l, h\

sont arbitraires. Quelques-unes ont une interprétation concrète ; elles représentent des projections ou des perspectives. Mais cette circonstance ne leur confère a priori aucun avantage spécial; il est donc absurde de parler avec les géographes de canevas conventionnels quand il ne s'agit ni d'une projection ni d'une perspective : tous les canevas sont conventionnels. Au reste, on les appelle tous des porjections : le mot perd ici son sens strict. .■)'". — Nous avons :

cLv=^dL + -^d\, di/=-^dL + ^d\.

Posons: (|l)'+ (Ë) =^'

0£Dx DyDyr-^-^ Dy Oyi dLdY^DLOylOL Ol^DLOl r

Pour l'élément d'arc AA' du plan qui correspond à l'élément AA'

de la sphère, on a :

dG'- = EdL'- + 2F. dL d\ + Gd\'-.

d.r . (lit dy

cos0 = -r-, sint) = -f^, tg(-) = -f^. dy d- ° d.i:

CAHTKS GEOGn.ll'IIKjilCS 135