Conservation des aires

/". — Sur l;i splicrc coiisitlérous tieiix pelils (Ic'placeincnls, l'un dV sur le uiéridien, l'autre (IL sur le parallèle.

Nous tlctiuissons ainsi un petit rectangle d'aire : (lS=:dL.dy. cos-l.

Cherchons Taire* du petit parallélogramme correspondant sur le plan. A l'arc r/L correspond sur le plan un arc AA, défini par les t|uanlilés :

f/r,r=i^(/L, r/.y,-:^^</L; ./7, = \ÏÏ.(/L.

A l'arc r/V correspond sur le plan un arc AA. défini par les quantités :

d.f^='^d\, d7j, = '^,dy; d7.^=^,lG.dV.

cos(-),

,, dA\ Ar 1

Ûu 1 sin(-) ==^-^;

dy i

sinB, =

si n ((-).,

^Vvg'

1 / Ox Oy dx Dy ^

., , . 1 /Vxlhj dxVij\

■e,) = sin = =.— (^^-^5j-).

L'aire du parallélogramme AA,A'A.. est donc :

Fis. ''•

Pour que la représentation plane soit en vraie grandeur (équivalente), il faut choisir les fonctions .c(L, V), î/(L, \'^, telles qu'on ait identiquement :

13G GÉOGRAPHIE MATII É M ATIQVE

ou encore : •)lW-Wi)L = -^'''^-

2". — Si Ton veut que lès cercles parallèles soient représentés par des droites parallèles à l'axe 0,r, il faut poser :

2/ =:/■(/), d'où : .r=L?(0,

par substitution dans la condition générale d'où L doit disparaître. 11 vient: ±.o{l).f'{l)=cosl.

^, , ., Leos/

D ou enfin : y=/('h ■<"= ., ., .

S°. — Coordonnées polaires.

Les formules de transformation se présentent souvent en coordonnées polaires sous la forme :

Cherchons la condition pour que les aires se conservent. On a : .r=/'cosa, ?/ = /sinz,

Dx . Dx du ?a

dx <lr . 0-j. Ou . dr , c^a

-;-=cos a-TT — /'Sin5:^=rr, -±T = ?>iny.-jj~\- rco?,yi-^.

Jù (Il ci ui (Il uL

La condition de conservation des aires est :

dr Dt. .

r-.-^ = ±cosL

Comme par hjpothèse r n'est fonction que de /, pour que les aires soient conservées, -j. doit être de la forme :

, cos/.c// , „ , ^ f^cosl J,