Propriétés générales d'une transformation quelconque

Du point A de la sphère comme centre et sur le plan tangent, décrivons un cercle infiniment petit de rayon ds : les variables L et V subissent des accroissements dh, d\, liés par la formule :

ds'-=[dL\+d\')c.os-l\ (1)

ds et / sont des constantes.

Cherchons quelle courbe correspond dans le plan au petit cercle ci-dessus tracé. On a :

CARTES Gi:OGnAPIIIQVES 137

Résolvons par rapport à dL et </V; transportons clans (1); il vient une équation (|uathatifitie en d.v, dij : conséfiueninient la courbe, cherchée est une ellipse. Elle ne peut être qu'une ellipse, car, d'après la nature du problème, elle n'a pas de branches infinies.

On remarquera que nous traitons les dérivées partielles comme des constantes. Autour du point A elles ont en effet la valeur qu'elles prennent au point A à j)arlir dii([iiel nous faisons varier les coordonnées.

En définitive, quelles que soient les fonctions .t(L,V), ?/(L,V), à un cercle infiniment petit tracé sur la sphère correspond une ellipse dans le plan, et inversement; plus généralement, à une ellipse correspond une ellipse. Celle j)roposilion, qui s'applique non seulement à la sphère, mais à toutes les surfaces, lient à ce que les formules sont linéaires par rapport aux différentielles.

2". — A l'arc : ds-= {dL^ +d\-]cos-l,

correspond sur le plan l'arc :

d^- = EdL' + 2FdLdY + GdW

Cherchons pour quelles directions il est maximum. Le carré du rapport de transformation est :

, A/^V E+2Fp + Gp- ^ dV ^ ^

p est la pente de l'arc AA' tracé sur la sphère. Le maximum de t a lieu pour :