E — G , . G — E^,AG — E

Les racines yj,, y;,, de cette équation satisfont à la condition :

1\P^. = —^' Pi+P,=-^^- (2)

En conséquence le rapport - est maximum cl minimum pour deux directions rectangulaires de l'arc A A' tracé sur la sphère.

Nous désignerons par t, le maximum, par -, le minimum.

Ce sont généralement des fonctions de L et de Y; autrement dit, ils varient avec le point A considéré.

La pente P sur la carte est définie par la relation :

^~(/,r^ V. OL + d\'P) ■ \0L + OY^y

Faisons le produit P,P2 des pentes qui correspondent à p^ et p^. Utilisons les définitions de E, F, G, et les relations (2) ci-dessus démontrées; nous trouvons aisémeht :

Donc aux deux direction^/?,,/;., rectangulaires sur la sphère, pour lesquelles le rapport de transformation est maximum et minimum [directions principales), correspondent sur le plan deux directions

138 aiiOGRAPHIE MATHÉMATIQUE

rectangulaires. Ce sont évidemment les axes de l'ellipse; nous obtenons donc une véritication de ce qu'on pouvait prévoir sans calcul.