Déformations angulaires
i". — Les é(|uations du paragraj)he précédent permettent de calculer les pentes />,, /?,, des droites rectangulaires tracées sur le plan tangent à la sphère, qui correspondent aux axes de l'ellipse.
Soit sur le plan tangent O;, Or;, deux axes rectangulaires dont les pentes sont />,, />.,, par rapport au parallèle; menons sur la carte les droites O.^', Oij, qui leur correspondent. Les formules de transformation, qui restent évidemment Linéaires après le changement d'axes de coordonnées, sont nécessairement de la forme : ,r=<îç, y:=hr,.
Il s'agit, bien entendu, d'arcs très petits à partir du point considéré sur la sphère et de son image dans le plan. Posons :
Jl
ts;e=--
tgO:
On trouve immédiatement :
tg0 = |tgO, tg<o = tgO
a — h a + 6tg-0"
Le maximum il de <.) a lieu pour :
tgO=y/«, tgn==^, ♦ /> 1\ au
smQ = — !— ^
ly-y
Si donc nous connaissons les directions principales et les facteurs de transformation correspondants a, b, nous calculons aisément la plus grande altération angulaire.
CMITES GI-:OGHM'lllQLËS 139
L'angle m varie de 0 pour 0=^=0, à 0 pour 0=90".
Entre temps il passe par le maximum ci-dessus calculé pour :
Les angles correspondants 0 et (-) satisfont à la relation :
Ces formules sont faciles à appliquer, parce qu'en général la symétrie de la transformation indique où sont les directions principales.
Elles correspondent ixp = 0 et/; = oo, quand on a F = 0.
Elles correspondent 'ap = ±l, quand on a E:=G.
•J". — Dans une direction quelconque 0 sur la sphère on a :
; = cos 0, r, =sinO.
D'où sur le |)lan : .r = « cos 0, i/ = bsin')\
t,-=j:.- -{-y- = a- cos- 0 + b- sin-0. Pour la direction rectangulaire ô +90", on a : ç = — sin 0, ï;=cosO.
•:* = «- sin-0 + b- cos- 0.
D'où: -.,- +-.^- = a- + b-.
C'est le théorème d'Apollonius.
Le couple de directions rectangulaires dont nous partons, est transformé sur la carte en un couple de droites faisant entre elles l'angle o. Un vérifiera aisément la relation : -.-.,^=ab sin ;.
C'est la seconde relation d'Apollonius; elle prouve qu'à deux directions rectangulaires sur la sphère (au voisinage d'un point bien entendu) correspondent deux diamètres conjugués de l'ellipse transformée du petit cercle qui a ce point pour centre.
.3". — Grâce à ces formules on calcule rapidement la plus grande déformation angulaire. On a :
^ ,, a — b \!a--\-b- — '2ab
tgLJ = — ^=:-^ =: .
'Is^ab 2\ab
Nous explicitons ainsi les quantités [a'- + b-) et (ab).
Calculons les facteurs de transformation le long du méridien et
du parallèle.
Pour p=0, -:,=:vE • ^^^ ^»
yj=x , •:- = vG : cos /;
d'Où : V- + V = a'- + b'-=^^,
' cos'Z
-L/i^^v i^■ik^cos/
1 /dxdxj dxd,/\
' ' ^ cos/\JL cU lV c'L/
