Cartes plates
L klce la plus simple est de poser :
on obtient ainsi les cartes plaies.
On représente la Terre sur une bande de hauteur - et de longueur 2::.
Formons les quantités E, F, G :
E = l, G = cosV, F==0.
Par raison de symétrie, le facteur de transformation -. est maximum et minimum le long des méridiens et des parallèles. On a généralement :
, 1 +/>^ cos-/
(1 +y^-;cos-/" Pour />= X, suivant les méridiens, t^I;
yj=0, suivant les parallèles -:=1 : cos /■ En particulier au pôle, où la distance des méridiens s'annule, le facteur de transformation suivant les parallèles devient infini.
La plus grande altération angulaire autour de chaque point est donnée par la formule :
a — h 1 — cosZ J
« + 0 14- cos l ° 2 Les distances sont indiquées exactement sur les méridiens et sur
l'équateur; elles sont agrandies pour toutes les routes obliques. Joignons deux points A et B sur la carte : la droite AB n'indique en aucune manière l'angle que le plus court chemin de A à B sur la sphère (arc de grand cercle) fait avec le méridien d'origine.
La carte plate ne peut donc servir aux marins pour déterminer la
route, c'est-à-dire l'angle qu'il faut donner à l'aiguille de la l)Oussole par rapport à la quille du navire (plus exactement par rapport au longiludinctl).
Pour fixer les idées, choisissons les coordonnées suivantes : point A: L = 0, ^=0; point B : L=180, / = 90 — :.
Sur la sphère, il faudrait se déplacer exactement sur le méridien
APB pour aller de A à B, par le plus court chemin; tandis que la
droite AB fait avec l'équateur l'angle ;
±arctgvgQ = ±arctgO,5 = ±26°34'.
2°. — Cartes a canevas rectangulaires.
On pose : .r = A-L, ;y = ^, (/'■<!)•
k est choisi de manière que le rapport des arcs de parallèle et de méridien soit correct pour le parallèle moyen.
Soit /„ la latitude de ce parallèle. On pose donc :
h = cos /„• L'élément du canevas devient un rectansrle dont le grand côté est vertical. Par exemple, pour ('(, = 45'', le côté horizontal du rectangle est 0,707 du côté vertical.
On a: E = /.S F = 0, G = cos-^;
, /i" 4- p- cos- /
■ (1 +p-)cos-l' Pour p= co, c'est-à-dire suivant les méridiens, -:= 1 ;
p = 0, — — parallèles, -.^k : cos l.
En posant /.• = cos /„, on réalise une projection en vraie grandeur le long du parallèle moyen.
Comme on a : E = G, F=:0,
le long de ce parallèle, la représentation est conforme.
Les cartes parallélogra/umalit/ucs sont les plus anciennes.
Elles conviennent à la représentation de bandes peu étendues en latitude; l'étendue en longitude est indifférente.
CAllTES GKOGRM'IlIQiES \\i
3°. PnOJECTION TIlAPliziFORME.
Jo rapproche de ces projections la |iroje(lioii /rt//it'zi/oi-/iie fort en honneur au xiv" siècle. Les parallèles sont encore des droites parallèles; mais les méridiens sont des droites concourantes :
.v = bL{a — 1/), .!/ = '•
On dispose de deux constantes qu'on détermine en écrivant cpie les parallèles ont leur longueur correcte 2 r. cos / pour deux latitudes /„ et /,. Un pose donc :
' ^=zcos/, pour L = ::, et pour ^=:/„ et ?/ = /,.
l.cosf.. — /„cos/,
cosL — cos/.
cos/, — cos/, ' " /„ /,
Cette projection altère considérablement les angles.
104. Projection de Lambert (conservation des aires) Pour que les aires soient conservées on doit avoir :
OLOl OLOL
Posons: .r = L, y = sin/.
^ = cos/;
la condition est satisfaite.
/'o'/e /l^crd
^çu^
teur
Fit'. 8'-
G = cos"Z.
T = cos/,
•:=:1 : cos /.
On a d'autre part : F = 0, E^l, Pouryj = x , le long des méridiens /j= 0, — parallèles
La plus grande altération angulaire autour de chaque point est donnée par la formule :
tgQ^-^tg/. sin/.
105. Projection sur un cylindre coaxial à la ligne des pôles.
1°. — Point de vue svr l\ ligne des pôles. Comme les dimensions absolues importent peu, supposons que le cylindre est tangent à l'équateur. Une de ses génératrices est TC.
IVi ■ GEOGRAl'IIIE MATHEMATIQUE
Le point de vue V est sur la ligne des pôles à une dislance VO::^D
du centre.
La projection du point Q de latitude / se fait en R, à la distance de
l'équateur :
* Td r> D — sin/
■^ / cos
XLI ^ L — :;>, k ^^^""--1
Les formules de transformation sont donc :
D — sin/
cos/
2°. — Projection cylindrique orthodromique.
Plaçons l'œil au centre de la sphère, D = 0 : jc=L, 2/ = tg/.
Cette projection estort/wdromique, parce queles grands cercles sont représentés par des droites. Or ce sont les plus courts chemins sur la sphère. Pour aller d'un point A à un point B, il suffit de tracer au crayon la droite AB : nous connaissons immédiatement les latitudes et longitudes des différents lieux par lescjuels passe le grand cercle joignant A et B. De telles cartes seraient un complément utile des caries de Mercator ou réduites employées pour la navigation loxodromique, dans le cas où il est avantageux de s'écarter de la loxodromie (§ 110).
Nous retrouverons au § 115 d'autres cartes orthodromiques obtenues par projection sur un plan tangent au pôle, l'œil étant toujours au centre de la sphère.
2°. — Point de vue sur l'équateur, mais restant dans le méridien A projeter.
Pour le méridien qui est dans le tableau, le point de vue est en 'I'.
On a : x=L, ^ = 2tg;^.
Dans ce système la carte reste finie pour la latitude Z = 90°. On a alors y = 2.
CA II Vf: S G r.oi: ha l'/iro res
