Projection de Cassini III

/". — Sur l;i carie i)r<'aous coiiiiac coorclonnceB rectiligiies du point A ; lig. S;it :

AN est la tlistanre au mériilien |)riiuipal l'M ; MN = / est l'inclinaison sur l\'(|ualour tlu j^rancl cercle (|u'on mène par le point A et par le dianiclrc lîS normal au méridien (origine.

Dans les triangles rectangles RI ^\ et l'AN, on a :

sin.c = cos /. sin L, tg^ = tg^ : cos L. (1)

Le canevas est représenté dans la ligure 84.

Faisons L r='JU"; il vient : .1 + /-=":-, .y=-:2;

faisons L = 0; il vient : i/^^/-

Les images des parallèles coupent le méridien principal à des distances du centre de la carte proportionnelles à leurs cotes.

Elles coupent les droites ij = ±r. : 2 à des distances du méridien principal complémentaires (le leur cote.

Faisons /=0; il vient .r = L;

faisons /=00"; il vient .r=0,

Les images des méridiens coupent l'image de l'équateur à des distances du centre de la carte proportionnelles à leur cote.

Elles passent toutes par les pôles.

:?". — Cherchons les images des |)oints R,S : /;=0, L=±90".

La première équation donne : .r=±9U"; la seconde donne ; ^=^90".

L'image du point R est toute la droite RjR'; l'image du point S est toute la droite S, S".

Les images des grands cercles perpendiculaires au méridien principal sont des droites horizontales. Elles sont tangentes aux images des parallèles sur le méridien principal.

Cherchons ce qui arrive au voisinage du pôle.

Faisons donc : Z)=90" — £.

11 vient :

; sinL, r^ — t/^=icosh.

146 GÉOGIiAPIIlE MATHÉMATIQUE

Cette équation signifie que les méridiens partent du pôle en faisant avec le méridien principal un angle égal à leur cote.

Le méridien de cote L = ±90" est un carré : il limite la carte.

Il est clair que loin du centre de la carte les déformations sont énormes tant pour les angles que pour les surfaces; mais Cassini

r"^ aa° Pôle Mord

Fig. 84.

n'utilisait celte projection que pour la France, dont l'aire est un millième environ de l'aire totale de la Terre.

Si l'on remplace l'équateur par un grand cercle passant par les points R et S et d'inclinaison /„, les définitions restent les mêmes, on a :

.r = ÂN, ^ = / — /„.

D'où les formules :

sin.r^cos/. sinL, tg [ij + 4) = tg/: cosL.