Problème des routes en navigation. Loxodromie

1". — Le plus court clicmiu iluu point à un autre sur la spiière esl le plus petit des deux arcs du grand cercle qui passe par ces points. Cette courbe coupe les méridiens suivant un angle variablo ■(fig. S.^).

En effet, soit BCR' un grand cercle normal au cercle AlîE.

Dans le triangle sphérique rectangle ABC, on a :

tgC = tgAr3:sinBC.

Déplaçons le point C de B en B'; l'angle G est droit en B, il diminue, devient minimum pour BC = 90°, croît ensuite et redevient droit pour BG= 180°.

2°. — Mais l'emploi delà boussole conduit les marins à utiliser entre deux points, non pas la route la plus courte, mais celle qui fait un angle constant avec les méridiens successifs : on l'appelle loxodromie.

Admettons, en effet, que la drcUncilson magnélique soit constante : la projection horizontale de l'aiguille aimantée fait partout le même angle avec le méridien géographique. Pour décrire automatif[uement la loxodromie, il suffit de maintenir constant l'angle de l'aiguille (rendue sensiblen ment horizontale par son mode de suspension) avec la quille du navire (plus exactement avec le plan loni^iliuUnal de symétrie du navire). La variation de la déclinaison entraîne une variation de cet angle; mais elle varie peu d'un point à un auti'e pas trop éloigné : la correction est facile.

Nous sommes donc conduits à chercher les propriétés de la courbe NM qui coupe tous les méridiens sous un angle constant ANM = Z.

3". — LoxonnoAirE.

Soit(/5 = NM l'élément d'arc de cette courbe.

CA/llKS CKUGRM'IlKjriCS 140

On ;i : ■ ¥}Â=(ll = (ls. couZ;

d'où ("Il inlograiil : / — /^=:.voosZ. (1/

\ esl l'arc total parcouru h partir du point de dcparl \; il osl proportionnel à la variation de la latitude.

On a : Nl'=:cos/.r/L^sinZ.^/.v.

D'où en inlogranl ^ ^'1 :

Parlons d'un point N de coordonnées g('0gi'aphi(|ues L„, /„. Pour aller jusqu'au pôle, nous devons parcourir le chemin fini :

'~'yi ''vcosZ'

sa valeur est fonction de l'angle Z de départ.

Toutefois le pôle est un point asynii)tolique, puisque L — L„ devient infini pour /^OÛ", cos/;=0. La loxodroniie est donc une spirale sphérique qui fait autour du pôle une inpiiilé de tours; les rayons moyens des spires successives diminuent assez vite pour que la longueur totale du chemin reste finie.

Au voisinage du pôle la loxodroniie devient une spirale logarithmique ordinaire.

Remplaçons la latitude / par son complément /..

Ona: / + A = 7r:2, r// -f r//,r=0;

f-L — -^= — f . '' = — f—^ — log/, + constante. .' cos/ i' sin>, J /,

si "/, est petit. La colatilude "/, joue le rôle de rayon vecteur; la longitude est la seconde coordonnée polaire.

En chaque point de la sphère passent deux loxodromies symétri- (|ues par rapport au méridien de départ et faisant le même angle avec ce méridien.

Nous allons maintenant comprendre l'intérêt des cartes de Merrator.

109. Projection, de Mercator (conforme); cartes réduites. 1". — On pose :

Les logarithmes sont népériens.

Ona: E = G=1, ^ = 0.

La Iranafornialion est conforme.

Le facteur de transformation, indépendant de la direction en un point donné, mais variable avec le point, est : T = i:cos/.

L'intéi'rt de celle projeclion est que les loxodromies onl des droites pour images. L'équalion :

L — L„ = tgZ (V — V„), devient : .r — .r, = tgZ [y— y,). C'est évident, puisque la transformation est conforme et que les méridiens ont des droites parallèles pour images : seule une droite peut faire un angle invariable avec tous les méridiens. Les arcs ds de la loxodromie tracée sur la sphère subissent une amplification croissante vers les pôles : à l'arc ds sur la sphère correspond l'arc ds : cosl sur le plan.

t^uai

eur

La longueur de la route jusqu'au pôle devient infinie sur la carie. Pour comprendre ce que cela signifie, on disposera les unes à côté des autres n cartes de Mercalor numérotées 0, 1, 2, 3,..., et représentant chacune la sphère entière. Elles sont de longueur //rare dans le sens des longitudes, mais de hauteur infinie dans le sens des latitudes.

Une loxodromie est une droite indéfinie ?JMP.

Nous pouvons la tracer tout entière sur une carte unique, à la condition d'y ramener les morceaux MP, PQ,... par une translation parallèle à EE'.

Les tours successifs de la loxodromie réelle autour du pôle sont remplacés, dans son image, par le passage de la droite NMP à travers les bandes successives; quand on utilise une seule carte, ils sont remplacés par les segments parallèles MP', P"Q',."

Les longueurs de ces segments sont égales, mais ce sont les images d'arcs de plus en plus petits.

La figure 87 rend évidente une proposition importante : on peut aller du point N au point T par une infinité de loxodromies. On les obtient enjoignant par des droites le point N aux points T de l'une quelconque des caries. On ira ainsi de N à T soit après une fraction de tour, soit après n tours plus une fraction de tour. Si par exemple on choisit le point T^, on fait plus de deux tours pour atteindre T.

CAIITES GliOGRArilIQUES \'.,\

On peut mettre le^ point T sur l'une des cartes qui sont à ^^luclie lie la carlo 0 où se trouve le point de départ.

En prali(|ue, la route à ciioisir correspond à la j)lus petite variation de longitude.

5°. — Le probU-iuc de la roule est donc très simplement résolu.

^^rrrrry.^^^

Pour aller d'un point A à un point B de la carte par la loxodromie qui les joint, on trace au crayon la droite AB sur la carte. Avec un rapporteur on détermine l'angle que fait cette droite avec les méridiens : c'est l'angle Z.

Connaissant la variation magnétique A, on sait l'angle Z±A que l'aiguille doit faire avec le longitudinal [cap au compas). Si l'homme de barre maintient cet angle, le navire décrit la loxodromie.

110. Différence entre la loxodromie et le plus court chemin. Navigation orthodromique.

i". — De ce que la loxodromie remplace ordinairement le grand cercle qui est le plus court chemin, on a une tendance à croire que ces chemins sont voisins sur la sphère; ce qui est une grossière erreur. Par exemple, pour aller du point N au poipt M de même latitude, mais dont les longitudes diffèrent de 180°, le plus court chemin NPM passe par le pôle; la loxodromie yj/Y/Z/^/^/e est le parallèle NQM (fig. 89).

Certes dans les conditions ordinaires d'emploi, la loxodromie, qui est plus longue que le graml cercle, en diffère peu.

Pour fixer les idées, allons (fig. 85) du point D (/=L = 0), au point B de coordonnées L = -:2, / = :::4.

L'arc de grand cercle a pour longueur :: : 2.

GKOGHAI'tlIE .1/ .1 TflK ;1/ ATTQ V E

Calculons l'aro de loxodroinie. Les valeurs \' et V„ ii'.t//ii/itrcs ni radiûJis) qui correspondent ^ = 0, 1 = - : -'i, sont 0 et U,88l/i. L'équation 1^2) donne donc :

J,.-)70S = 0,8814.tgZ, tgZ=l,78 cosZ = 0,40. D'où en vertu de (1) : s^=- : 1,90. L'allongement de la route n'est que de 2 p. HiO. Il serait nul pour les routes DA ou DE, la loxodromie se confondant alors avec le méridien ou le parallèle. Revenons à la figure 89.

Le chemin NPM = ':: — 2/; le .chemin NQM = z cos /.

La diflerence est : D^-cos/ + 2Z — ■::. Elle est maxima pour / = 39'' 30'.

D'où: 7:cos/ = 2,421, :: — 2Z = 2,452.

La différence relative est faible.

2'\ DlFFlJRENCE- ENTRE l'aZIMUT LOXODROMIQUE ET l'aZIMUT DE

l'arc de grand cercle.

Par les points N et M menons la loxodromie et l'arc de grand cercle (fig. 88). La loxodromie qui est une droite sur la carte, fait un angle invariable Z avec le méridien; l'arc de grand cercle fait avec lui les angles Z, en N, Z, en M.

Evaluons la différence :

quand les points N et ]M sont rapprochés.

Dans le triangle PIMN (fig. 88),

sinZ, sinZ,

on a : j^ = f,

sin Z.cos/ = constante.

Cette formule différentiée donne :

dZ=tgZAg Ldf.

Mais d'après la définition de la loxodromie, on a :

tgZ.^// = cos/. iIL.

D'où : r/Z = sin l.ilh.

Reportons la variation (■ZZ = 2£, respectivement par moitié aux bouts de l'arc MN; passons aux quantités finies.

Nous trouvons pour angle de la droite loxodromique avec l'image

(lu grand cercle MN :

Les liydrographes appellent l'angle s la correction dr (jh'rij. Nous verrons (§ 111) qu'effectivement l'image du grand cercle est

CAltTES iJI.OUn.tl'lItQrES 153

placée par rajtporl à la luxodromie comme le montre la figure 89 : c'est une courbe ondulée qui a un point d'inilexion sur l'équalcur.

.■<°. NaMG\T10N OnTIIODHOMKjl k.

Pour (le longues traversées, entre deux points à peu près de même

latitude, il y a intérêt à quitter la loxodromie et à faire de la navigation or//io(l/ofiiii/ue , suivant l'arc de grand cercle.

Dans l'hémisphère nord, on passe au nord du parallèle; dans 1 hémisphère sud, on passe au sud du parallèle.

Par exemple, dans les traversées du Havre à JN'ew-York, on va reconnaître Terre-Neuve qui est notablement au-dessus de la loxodiomie passant par Ouessant et New-York.

La distance orthodromique A et l'azimut Z, de départ sont donnés par les formules :

cos A = sin II. sin /^ + cos ^,. cos l,. ces (L, — L,), cotgZ,.sin(L, — L,) = tg /,. cos /, — sin /,.cos iL, — L,).

Les caractéristiques du grand cercle à suivre sont l'inclinaison i et la longitude L„ de la ligne des nœuds intersection avec l'équateur). On a : tg(L, — L„) = sin /,. tgZ,; d'où L,..

tg/. sin(L, — L„=tg/,; d'où i.

Le problème est ainsi complètement l'ésolu. Ou appelle verlex le point du grand cercle dont la latitude est maxima. Sa lono-itude est L„zh- : 2; sa latitude est i.