Image d'un cercle dans la projection de Mercator

1". — La méthode des cercles de hauteur, de plus en plus employée en navigation, conduit à chercher ce que devient un petit cercle de la sphère sur une carte réduite.

■. GÉOGRAPHIE MATIIÉMATIQIE

Soit : le rayon du cercle; soil /„ la latilude de son centre dont

nous pouvons toujours supposer la longitude nulle.

Les coordonnées géographiques /, L, des points du cercle sont liées par l'équation :

sin /. sin /„ + cos /. cos /„. ces L

= cos :. (1)

Si le cercle est infiniment petit, son image sur la carte est un cercle :

conséquence de ce que la projection est conforme.

Fig. 90.

En effet, poussons les développements jusqu'au second ordre ; on a : sin /=sin/„ + cos/„f/Z — sin/„— ,

cos l^cosl, cos L = 1

sin /„ dl — cos /„ — ,

cos 0 = 1-

Substituons dans (1); ne conservons que les termes du second ordre. Il vient :

(//- + cos- /„. L- = ;-, [(Lr- + di/-) cos- /= ?-.

Pour un cercle de rayon fini, trois cas à considérer.

2". — Courbes de première espèce.

a) Le petit cercle ne comprend pas le pôle : : <9Û°-

C'est le cas représenté dans les figures 91 et 02 à gauche. L'image du cercle est une courbe d'aspect elliptique.

c.iiiTEs céocum'iiiques i.jr.

Les points M' où la tangente de l'image est verticale, correspondent cvidenimcnl aux points M de plus grande et de plus petite longitude sur le cercle.

L'image C du centre C est au-dessous de la droite M'M', puisque le même arc de latitude est représenté par une longueur d'autant plus grande cpie la latitude moyenne est plus grande.

Soit /, la latitude des points M' (llg. 'J2i.

Dans le triangle rec- m' tangle CM'P on a :

sin /, = sin /„ : cos p.

Les latitudes des points R et S sont /„qr p.

Soit (/„, ?/„' les ordonnées correspondantes sur la carte; soit ^, l'ordonnée des points M'.

Par définition on a :

^o=logtg(| + ^), yo' = logtg0 + ^=),

7/. = logtg(^^ + 2')-

Partant de l'identité :

/- ^\ 1 +sin/ *SV4"^2/""1 — sinT on trouve immédiatement la relation :

,'/o + yo'-2^„ fS^FR.

L'image du cercle est une courbe symétrique par rapport à la droite M TM'.

h] Soit un cercle inscrit entre deux méridiens faisant entre eux langle 2L„.

Entre son rayon ; et la latitude du centre existe la relation :

sin p = cos /„.sin L„.

En particulier, si le centre est sur l'équateur (^^=0), on a f = L„; ce qui est évident.

Coupons le cercle par un méridien faisant l'angle L avec le méridien origine; soit A l'angle suivant lequel il coupe les rayons du cercle. On a :

sin A sinL . . sinL

■f-z=— — , sin A— ■ .

cos/j sinp sinLg

D'où le théorème : tous les cercles de la sphère tangents aux deux mêmes méridiens sont coupés suivant les mêmes angles par un troi-

lj(; C.EOCnAI'IlIE MAIIILMATIQC/:

sième mëridicu quelconque. En verlu de la reprcsenLalion conforme, cela revient à dire que les iinnges de lous ces cercles sont coupées suivant des angles égaux par la droite image d'un méridien. D'où l'on déduit immédiatement que les cercles inscrits entre les mêmes méridiens ont des images identiques. A la vérité, ils sont d'autant plus petits que leur centre est plus voisin du pôle, mais leur latitude moyenne est plus grande.

c) Considérons le cercle inscrit entre deux méridiens faisant entre eux l'angle 2L„, et dont le centre est sur l'équateur.

Son rayon p est égal à L„.

Le demi-petit axe (horizontal) de l'image est p ;

le demi-grand axe (vertical) est :

lost

Mais tous les cercles compris entre les mômes méridiens ont des images identiques. D'où le théorème : une courbe de première espèce image d'un cercle tangent à des méridiens distants de 2L„, a : pour demi-petit axe (horizontal), L„,

pour demi-grand axe (vertical), logl-g (7 + "tt)-

.3". — Courbes de seconde espèce.

Le petit cercle comprend le pôle : p>>90" — /„.

Le cercle est tangent à deux parallèles : son image est donc tangente aux droites de la carte qui sont conjuguées de ces parallèles : la figure 91 à droite en donne l'allure.

L'image a deux points d'inflexion, pour les longitudes ±90" (le méridien du centre est pris pour origine), et sur la droite équidistante des droites images des parallèles extrêmes.

Le triangle rectangle CPN'(rig. 92 à droite) donne pour la latitude /, des points N' :

sin /, = sin /^ : cos p ;

c'est la même relation que plus haut.

Pour montrer qu'en N', N', existent des points d'inflexion, on s'appuie sur le fait que la transformation est conforme. Ou cherche donc pour quels points le cercle UN'TN' fait le plus petit angle avec les méridiens ou avec les parallèles, ou, ce qui revient au même, pour (piels points l'angle 2 est maximum.

Dans le triangle PAG on a :

sin^j^cos.r. cosp + sin.r. sin p- cos z.

La condition cherchée est : tg.<=cos:(. tg p; elle exprime ([ue l'angle CPN' est droit.

i". CoillBES DE TROISliiME ESPÈCE.

Le petit cercle passe par le pôle: t = 90" — /,y

La courbe est formée d'une seide branche, symélri(jue par rap-

ciHiTs cicoc.nAriiioiEs

port ;iii iiiciidion origine (•oiniiic dans les cas pré<écienls d nsyiu litote aux verticales it !'(*".

Clienhons l'équation de cette coiirlje.

L'équation ilu cercle tievienl en posant cos p=sin/„ : ces/. CCS L= I — sin/ tg/^, qu'on peut écrire :

cosL = tg/„.lg0-0 = lg/.,:tg(^ + 0.

D'oii : \' = log.lg/„ — log.cosL, ,'/ = log-tg/u — log.cos.r. La latitude "/.„ du point du cercle le [dus éloigné du pôle est :

"/■„ = .-; — -A.; d"ou : /,,=t — tt- 1 4 2

log. lg/„ = V„ = //„; \'„ est la valeur tle V qui correspond à >,„. Léfiuation de la courbe devient :

.y=Z/o — logcos.c.

Toutes ces courbes sont superposables par translation le long du méridien origine. Autrement tlit, tous les cercles passant par le j)ôle ont la même image convenablement translatée.

On donnera au sommet de cette image la latitude que possède le point du cercle diamétralement opposé au pôle.