Projection de Gauss (conforme

1°. — Posons: z^^^/iL, r^r'J].

Cherciions la condition pour que les angles soient conservés.

Revenons aux coordonnées cartésiennes :

X = /'. cos /iL, y = r. si n AL. On trouve aisément (§ 08) :

E = /.:^/'S G = f'^'ycos^/, F = 0.

La condition cherchée est :

D"où les solutions :

r cosl

*^U~2)J '^''-y^lj' enposantZ +

Choisir /.-, c'est choisir l'angle du secteur dans lequel on effectue le développement; il reste une arbitraire /•„.

La condition de conservation des aires est i^§ 99) :

en vertu de (1\ elle devient : k/' = cosl.

On peut donc rendre la représentation exacte sur un parallèle. Pour avoir l'exactitude sur l'équateur, on écrira :

/ = 0, /■=/■„, /rr,= l.

On peut encore déterminer les constantes /•„ et k en écrivant que les parallèles de latitudes l^ et /, ont des longueurs exactes : /•(/„) = cos/„, /■(/,) = cos^,.

■j'\ — Retour a la 'projection de Mercator. Nous pouvons écrire :

logf^=/'logtg(^^ + 2)- Faisons k très petit. Remplaçons /• par /• + /•„.

On a

log(l+0

puisque par hypothèse /■ reste très petit. D'où : /'^/'oA-loo- tg ( ;^ +

Mais, dans ces conditions, les droites concourantes images des méridiennes deviennent des droites parallèles, puisque, pour avoir une carte de dimensions finies, il faut renvoyer très loin leur point de concours. De même les cercles concentriques sont des droites parallèles dans leurs parties utilisées. Bref nous retombons sur la projection de Mercator, qui est un cas particulier de celle de Gauss.