II-. Pô}e
pour images des droites concourantes, les alinicantarals (cercles parallèles à l'horizon du point Q) ont pour images des circonférences concentriques. Pour construire la carte, on calcule les coordonnéeszénilhalesdes points 2' P formant le canevas, en fonction de leurs coordonnées géographiques.
Il va de soi que les méridiens et les parallèles n'ont plus respectivement pour ima droites et des cercles {§ 98).
Si le centre de projection est sur l'équateur, on a (fig. 101) cosZ=cosZ.cosL, tgA =sinL.cotg^.
Les équations des parallèles et méridiens sont :
sin/ = sinZ.sin A, tgL =tgZ.cos A.
Fig. loi.
ges des
121. Projection sur un cône^ tangent à la sphère et développement.
Le point de vue peut être quelconque sur la ligne des pôles; pour ne pas faire une algèbre inutile, nous le mettons au centre. Le cône est supposé tangent le long du parallèle l^,.
On a: GÂ = cotg/o, ÏÏA = tg(Z — ;„);
d'où: /•=CR = cotg/„ — tg (/ — /,).
170 GÉOGRAPHIE M A T II E M ATI QV F.
La longueur du parallèle tangent est :
27:ÂB = 2-cos/,, Après développement, il forme un arc de longueur 27:cos/„ psur une circonférence de rayon CA = cotg7„.
p /Vr
L'angle du secteur sur lequel la carte est construite, est donc :
M = 27: cos /„ : cotg /'„=:27: sinZo- L'angle au sommet z est lié à la longitude L par la relation : a 2-sin/'o L"" 2
:Lsin/„.
En définitive les coordonnées polaires sur la carte sont : o! = Lsin/o, /'^cotg/^ — tg(/ — /„).
On représente tous les points compris
entre le pôle P (^=90% /•=0) •
et le parallèle de latitude négative /, = /„ — 90°; /'= oo.
La carte est construite dans un angle d'amplitude (ù = 27:sinZo bien déterminée; on choisit arbitrairement l'arc représentatif du parallèle de latitude Z„; il fixe réc:lielle.
Son rayon est conventionnellement égal à r„=cotg/„.
2'. — En faisant /o==0, on retombe sur la projection cylindrique
CARTES GEOGRAI'lliqUES t7t
du S 105 :
.r = L, y = ig/.
Le sommet du cône passe à linflni, l'angle (o dans lequel la carte est construite devient nul; les méridiennes ont donc pour images des droites parallèles; les images circulaires des parallèles se rectifient. On a :
.r = cotg/„ — /■ = ig(/ — /„);
cotg /„ et r deviennent séparément infinis, mais leur difTcrence reste finie.
122. Autres systèmes de projection sur un cône tangent suivie de développement.
Ne conservons du système précédent que l'essentiel. Les formules de transformation deviennent :
2 = Lcos/„, /■ = cotg /„-/•(/-/.); /'est une fonction arbitrai re.
^'oici quelques hypothèses simples.
1". — Projection coniqve
