Propriétés générales

1°. — Les formules de transformation en coordonnées polaires sont de la forme : ^^^^ (^^ L)^ r=zr{l).

Les cercles concentriques sont les images des parallèles de la sphère; les images des méridiennes sont des courbes a priori quelconques.

Une telle projection ne peut conserver les angles en tous les points de la carte, puisque les parallèles et les méridiennes sont des courbes orthogonales, tandis que leurs images ne se coupent plus partout à angles droits. 11 faudrait pour cela que les images des méridiennes lussent des droites concourantes au centre des images des parallèles, ce qui par hypothèse n'est pas réalisé.

Pour que les aires soient conservées, il faut avoir (§ 9'J) : 7. = 5(/) + L/-(/).

La condition de conservation des aires est alors :

Nous pouvons choisir arbitrairement les fonctions 9 et /'de la latitude; dès lors, la fonction /• = /•(/} est déterminée à une constante près.

2". — Cherchons si la projection, particularisée comme il vient d'être dit, conserve les angles pour quelques points (ce que nous savons impossible pour tous).

D'une manière générale :