Cartes de l'état-major français; projection de Bonne
(aires conservées).
1". — \ous conservons les aires en posant :
Lcos/ , ^ ,
x = ^ r» r=z(i — l; :«/' = Lcos(.
Les angles sont conserves pour Ou: Ol = 0, la seconde condition
E = G étant alors identi(|uement satisfaite; on trouve :
a =^ cotg/o + /„.
1^ dt'itnit le parallèle moyen.
Les formules de transformation deviennent :
On dit parfois que la projection de Bonne est la projection de Flamsteed corrigée; pour celle-ci on a (§ 124) en coordonnées cartésiennes : ,1 = L cos l, ij = l.
Evidemment les formules se ressemblent; mais la nécessité de l'assimilation (voire approchée; n'est pas impérieuse.
La longueur de l'image circulaire du parallèle de latitude / est égale au produit y.r de l'amplitude de l'angle y. pour une variation de L égale à 2-, par le rayon vecteur correspondant /• :
T o 2rcos/ o 7
L^2r. a^ , ;z/- = 2-COSt.
C'est précisément la longueur du parallèle : la projection de Honne a donc pour propriété essentielle que l'image circulaire d'un paralUde quelconque a la longueur même de ce parallèle.
'2". — Etudions les courbes images des méridiennes.
Elles passent toutes par le point P qui est limage du pôle de la sphère : pour /:=90'\ on a z = 0, quel que soit L.
Le rayon vecteur correspondant 01' est :
/■ = cotg/„ + (/„ — ^1.
Le pôle est donc sur un cercle de rayon fini.
L'angle que la tangente à une courbe exprimée en coordonnées
polaires fait avec le rayon vecteur, est généralement donné par la
formule :
dy tg\ =/• — .
" ilr
Pour L constante, on trouve :
cos l \
tgV = L sin/-
ly
ISO GÉOGRAPHIE 31 ATII É M A TIQV E
L'angle V devient nul pour :
du (h ^ j j
= 77=0; C0tg^, = (7 /o
dr
dl
C'est la condition qui définit le parallèle moyen. Les images des méridiennes coupent donc normalement rimïge du parallèle moyen. Pour ^ = 90" (pôle)^ on a :
tgV = L.
Mais alors 2 est toujours nul; l'angle V représente donc l'angle
Fig. 109.
avec la droite OPN de la tangente de départ de l'image de la méridienne. Pour de petites longitudes, on a sensiblement Y=L.
Pour L = 45% V:=38''9';
pour L=9Q", V=56",31';
pour L=:180°, Y = 72"21'.
5°. — Pour obtenir le canevas, on choisit la latitude ^„ du parallèle moyen. Avec le point O comme centre, on trace une circonférence C„ de rayon arbitraire qui vaudra conventionnellement :
/•„ = cotg/„.
Le parallèle moyen occupera donc une portion de la circonférence Co. Si l'on veut que la carte s'étende de ±L de part et d'autre
CARTES GÉOGltAniIQUES 181
du méruUen origine dont l'image 00' est rectiligne, on nn-ne parle point O, de part et d'autre de Oo', deux droites faisant avec 00' l'angle (évidemment indépendant de l'échelle) :
• a=:Lsin/„.
On délimite ainsi sur la circonférence C^ un arc de longueur :
2xr = 2 L sin /„ cotg 4 = 2 L cos 4,
précisément égal à l'arc du parallèle moyen à représenter.
Pour tracer la circonférence G dont une portion est l'image du parallèle l, il faut prendre MN = Z — Z„,
Mais l — /„ est évalué en radian, conventionnellement OM représente cotg/o-
Par exemple, soit Zo = 48", cotg4=:0,900.
L'arc d'un degré vaut en radian 0,01745.
Le cercle G qui correspond à / = 58°, c'est-à-dire tel que ^— 4 = 10°, est défini par les conditions : NM = 0,1745, ÔM=0,900.
1S2 GÉOGRAPIIIE M ATII É M ATI QV E
La latitude du pôle est supérieure à /„ de ''12°; on a donc : PM=0,017'ir>x42=0,733, ÔP^ÔM — PM =0,1G7.
131. Projection de Bonne en tenant compte de l'aplatissenient.
Soit /„ la latitude choisie pour le parallèle moyen; M est le poini central de la carte. Traçons une droite MO; elle représentera le méridien principal PMA.
Nous prendrons, comme précédemment, MO égal à la longueur de la tangente menée à l'ellipsoïde, du point M jusqu'à sa rencontre avec l'axe de révolution PO.
Soit N la grande normale au point M (§ 140);
:MO=Ncotg4, N = «: \ 1 — ^'-sin-/^.
Les images des parallèles sont des arcs de circonférences concentriques, de centre O. Pour déterminer le rayon du parallèle /, prenons à partir du point M une longueur .9 égale à l'arc de méridien compris sur l'ellipsoïde entre les parallèles de latitudes 4 et l.
La longueur *■ est calculée au § 140.
Reste à tracer les images des méridiennes. D'après la définition même de la projection, elles doivent limiter sur les parallèles de la carte des arcs égaux aux vraies grandeurs des parallèles sur l'ellipsoïde.
Le parallèle de latitude l a pour vraie grandeur (S l'iO) :
Fig. m.
Ir.acosl : \!i — e- s'in- 1^^2t. acosl i 1 + -rsin-Z
On calcule l'angle a qui correspond sur un parallèle à la longitude
choisie en écrivant :
a/' = Locos/: v'I — e-sin-l.
r est le rayon du parallèle sur la carte. •
. En raison de l'allongement des degrés du parallèle quand on va vers le pôle, le canevas prend l'allure singulière que représente la figure 112. Le point P se trouvant repoussé vers le haut, les méridiens des grandes longitudes sont concaves vers le haut au voisinage du pôle. Le parallèle moyen de la figure 112 est de latitude 45".
CAnTES GHOGRAl'IliqCES . 183
Je laisse au lecteur le soin de calculer quels angles font sur la carte les méridiens et les |)arallclcs.
N'oul)lions i)as que, dans la carte de France, la projection ne sert qu'à 7 ou 8' du point central; les altérations angulaires et linéaires sont très fail)les, ai)solument négligeables vu les erreurs inévitables dans la détermination de la position des points sur le terrain.
La carte de France du Dé|)ôl de la guerre (carte de l'état-major) estvendueau 1 : 80.000.
Elle se compose de 259 feuilles et présente une superficie de 82 mètres carrés. On la trouve dans le commerce au 1 -.50.000; le kilomètre vaut alors 2 cm.
Les minutes sont au 1 : 40.000.
Pour ces deux cartes, la surface est donc d'environ 210 m- et 330 m-.
Fig. lis
132. Projection de Werner. Projection polyconique. i '. — C'est un cas particulier de la projection de Bonne ; on pose
Fig. 113
/„=-:2, ce qui revient à prendre pour j)arallèle mo3'en un cercle infiniment petit. Les équations deviennent :
i4 GÉOGRAPHIE MATHÉMATIQUE
Pour / très voisin de z : 2, :« prend la forme 0 : 0. Mais écrivons :
a = Lsin y^ — l] ■ [•J—^
Lorsque l tend vers - : 2, x tend vers L.
Donc les courbes images des méridiennes vont toutes passer par l'origine (/-^O, pour 1=7: ■.2); les tangentes de départ font l'angle L avec l'image rectiligne du méridien moyen.
2°. — Pour fixer^es idées, soit à représenter un hémisphère.
Traçons les courbes qui limitent la carte : cosl
r, uua ( a =: i- =r-i ,
Pour /= — 90°, toutes les courbes passent par le point unique :
Elles y arrivent de manière à former une sorte de cœur, en faisant avec le méridien principal des angles V définis par l'équation :
-tgV=L.
On peut généraliser la projection de Werner en posant :
O 7 T ^OS l T. j
S°. — Projection polyconique ordinaire.
Tout en conservant la relation caractéristique de la projection de Bonne: a/- = Lcos/,
on peut prendre pour /• telle fonction de / qu'on voudra. On a proposé (fig. 114) :
/• = cotg^, a = Lsin/.
L'image de la méridienne L part de l'origine O des coordonnées sous l'angle a=L. Elle admet une asymptote parallèle au méridien principal et distante de L de ce méridien; on a en effet :
/ = 0, /• = co , a/'=:L.
Le canevas a la forme singulière représentée par la figure 114.
CARTES GKOGRM'IIIQVES
11 ne peut évideiiunent servir (|iie pour moins d'un hémisphère, puisque r=.'x. pour /— -0.
On appelle eelte projection polyconique parce que les rayons /• des
Fig. 114.
parallèles sur la carte sont égaux aux génératrices des cônes tangents suivant ces parallèles.
Canevas formés de circonférences non concentriques et de courbes diverses.
133. Projection polyconique à parallèles circulaires non concentriques.
Les Américains utilisent des projections dont les parallèles sont circulaires et de rayons : ^ — ^.q^q. i
Mais les centres sont placés de manière que sur le méridien principal les distances des cercles soient proportionnelles aux variations de la latitude. La longueur OP représentative du méridien principal est r: 2= 1,57. Les images des parallèles des grandes latitudes sont quasiment des circonférences concentriques.
Le faisceau des parallèles est ainsi complètement défini.
Reste à choisir les courbes représentatives des méridiens.
^'oici deux procédés.
i". — Projection polycoxiqve rect.^xgulaire.
On impose la condition que le faisceau des méridiens soit orthogonal au faisceau des parallèles.
186 GÉOGRAPHIE il ATII É il A TIQ i E
Cherchons l'équation d'un méridien.
On a : AA' = (//. dr^d.coisrl
